Grenzwert log(x)-0,5*log(x²+1)=0 Lösung zu schlampig?

25.06.2009, 23:32

Klappergrasmuecke

Grenzwert log(x)-0,5*log(x²+1)=0 Lösung zu schlampig?

Hi leute, ich möchte den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \left( \log{(x)} - \frac{1}{2} \log{(x^2+1)}-\frac{\log{(x)}}{x^2+1} \right) \end{eqnarray*}$

berechnen. Erstmal würd ich sagen den letzten Summanden kann ich getrost weglassen, weil x^2+1 locker gegen log(x) gewinnt und somit 0 rauskommt. Für den Rest hab ich mir gedacht ich könnte den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \exp \left( \log{(x)} - \frac{1}{2} \log{(x^2+1)} \right)=\lim_{x\to \infty} \exp \left( \log{(x)} +\log{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}} \right)= \lim_{x\to \infty} \left(x \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right)=1 \end{eqnarray*}$

betrachten und sagen dass weil die e-Funktion stetig ist mein gesuchter Grenzwert 0 sein muss. Ist das ok oder irgendwie zu schlampig?

25.06.2009, 23:36

WebFritzi

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RE: Grenzwert log(x)-0,5*log(x²+1)=0 Lösung zu schlampig?

Zitat:

Original von Klappergrasmuecke
Hi leute, ich möchte den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \left( \log{(x)} - \frac{1}{2} \log{(x^2+1)}-\frac{\log{(x)}}{x^2+1} \right) \end{eqnarray*}$

berechnen. Erstmal würd ich sagen den letzten Summanden kann ich getrost weglassen, weil x^2+1 locker gegen log(x) gewinnt und somit 0 rauskommt.

Was du natürlich noch mit den dir gegebenen Mitteln beweisen musst.

Zitat:

Original von Klappergrasmuecke
Für den Rest hab ich mir gedacht ich könnte den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \exp \left( \log{(x)} - \frac{1}{2} \log{(x^2+1)} \right)=\lim_{x\to \infty} \exp \left( \log{(x)} +\log{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}} \right)= \lim_{x\to \infty} \left(x \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right)=1 \end{eqnarray*}$

betrachten und sagen dass weil die e-Funktion stetig ist mein gesuchter Grenzwert 0 sein muss. Ist das ok oder irgendwie zu schlampig?

Das ist nicht zu schlampig, sondern falsch. Die Grenzwertbetrachtung ist ok, aber du kannst am Ende nicht mit der Stetigkeit der Exponentialfunktion argumentieren. Sondern?

EDIT: Zudem brauchst du hier die e-Funktion gar nicht. Du kannst direkt die Logarithmengesetze anwenden (wie du es oben auch getan hast) und dann direkt schlussfolgern ohne den Umweg über die e-Funktion.

25.06.2009, 23:51

Klappergrasmuecke

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Hi und danke für die Antwort Wink

Für den dritten Summanden mach ich dann L'Hospital, das geht ja relativ schmerzfrei.

Stetigkeit ist die falsche Begründung? Mmmmh Injektivität? Also ich hab ja quasi so argumentiert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x)=\lim_{x \to \infty} \log(\exp(f(x)))=\log \left( \lim_{x \to \infty} \exp(f(x)) \right)=\log(1)=0 \end{eqnarray*}$

Und der Grund dafür dass ich log vor den limes ziehen kann ist dann die Injektivität?

25.06.2009, 23:54

Mathespezialschüler

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Nein, das ist Stetigkeit. Du benutzt aber bei den Umformungen die Injektivität in Form der Existenz der Umkehrabbildung.

25.06.2009, 23:57

Klappergrasmuecke

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Also doch Stetigkeit. Naja aber Webfritzi hat mit seinem EDIT schon recht. Direkt mit log-Gesetzen ist es doch schöner.
Danke für eure Hilfe auf jeden! Freude

26.06.2009, 00:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von Klappergrasmuecke
Also doch Stetigkeit.

Ja, Mann. Aber nicht die Stetigkeit der Exponentialfunktion, sondern die des Logarithmus'. Und die brauchst du auch, wenn du auf die e-Funktion bei der Berechnung verzichtest.

26.06.2009, 00:26

Klappergrasmuecke

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Jo, da hatte ich nicht gründlich nachgedacht unglücklich

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Grenzwert log(x)-0,5*log(x²+1)=0 Lösung zu schlampig?

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