Infimum auf konvexer Menge

26.06.2009, 07:14

JePa

Infimum auf konvexer Menge

hallo,

ich häng hier an einer Aufgabe fest. Hab allerdings schon die Hälfte gelöst, aber bei der anderen steh ich irgendwie auf dem schlauch.

Hier die Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} K \subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ konvex und abgeschlossen und $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ beliebig. Zu zeigen ist: Es existiert genau ein $\begin{eqnarray*} y\in K \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} ||x-y||_2 = inf\left\{ ||x-w||_2:w\in K\right\} \end{eqnarray*}$

so... Die Existenz eben jenen y habe ich schon gezeigt, in dem ich mir eine Folge definiert hab, die im Grenzwert innerhalb des obigen ausdrucks gegen ein y läuft.Danach habe ich gezeigt, dass es sich dabei um eine Cauchy-Folge handelt, deren Grenzwert dann also in K liegt.

jetzt zu meiner eigentlichen Frage:

nun muss ja noch die Eindeutigkeit des y gezeigt werden:

also gehe ich davon aus, dass es $\begin{eqnarray*} y,y' \in K \end{eqnarray*}$ gibt, die die obige bedingung erfüllen.
Da K nun kompakt ist, weiß ich, das $\begin{eqnarray*} z:=\frac{1}{2}\left(y+y'\right)\in K \end{eqnarray*}$

jetzt bin ich am Knackpunkt angekommen, ab hier weiß ich nicht mehr weiter.

von meiner geometrischen vorstellung her, wäre doch dann z ein neues Optimum(was ja dann der gewünschte Widerspruch ist), aber ich kann das irgendwie nich zeigen.

ich weiß ja nur, dass die $\begin{eqnarray*} || . ||_2 \end{eqnarray*}$ und K konvex ist, aber ja leider nicht strickt konvex

es gilt also

$\begin{eqnarray*} ||x-z||_2\leq\frac{1}{2}||x-y||_2+\frac{1}{2}||x-y'||_2 \end{eqnarray*}$

wie gehts jetzt weiter? oder ist das vielleicht der falsche ansatz?

danke schon mal im voraus smile

26.06.2009, 10:03

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Nein, der Ansatz ist im Grunde genommen richtig - du bist am Ende nur nicht genau genug:

Deine Norm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ basiert ja auf einem Skalarprodukt, also kannst du die Parallelogrammgleichung

$\begin{eqnarray*} 2(\|u\|^2 + \|v\|^2) = \|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 \end{eqnarray*}$

nutzen, und zwar mit $\begin{eqnarray*} u = x-y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = x-y' \end{eqnarray*}$ , dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} u-v = y-y'\neq 0 \end{eqnarray*}$ und somit sogar das von dir benötigte $\begin{eqnarray*} \|u-v\| > 0 \end{eqnarray*}$ klar.

P.S.:

Zitat:

Original von JePa
Da K nun kompakt ist, weiß ich, das $\begin{eqnarray*} z:=\frac{1}{2}\left(y+y'\right)\in K \end{eqnarray*}$

Kleiner Schreibfehler: Hier meinst du natürlich ebenfalls konvex. Augenzwinkern

26.06.2009, 10:04

Mathespezialschüler

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Mit ein wenig Rechnen sollte man herausbekommen, dass für alle $\begin{eqnarray*} w\in K \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \langle x-y,w-y\rangle\leq 0 \end{eqnarray*}$

gilt. Wenn du jetzt zwei "bestapproximierende" Elemente hast, dann kannst du dies ja in verschiedenen Kombinationen auf beide anwenden.

26.06.2009, 10:34

JePa

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RE: Infimum auf konvexer Menge
oh....natürlich meinte ich konvex und nicht kompakt smile

vielen dank für die hilfe, habs jetzt hinbekommen an die parallelogrammgleichung hab ich gar nich gedacht, danke

27.06.2009, 12:49

JePa

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hallo ihr...

ich hab da nochmal eine ähnliche aufgabe, wo ich glaub ich nochmal einen kleinen denkanstoß brauche
ich soll nämlich genau die ungleichung herleiten, die Mathespezialschüler mir vorgeschlagen hat unter den Bedingungen:

$\begin{eqnarray*} K \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ konvex und für $\begin{eqnarray*} y \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} d \left(x,y\right)=d\left(x,K\right)=inf \left\{||x-y||_2:y\in K\right\} \end{eqnarray*}$

Ich soll jetzt zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} <x-y,w-y>\leq 0 \end{eqnarray*}$

Ich habs hier wieder versucht mit der Parallelogramgleichung, aber das hat mir nichts brauchbares geliefert bin dann auf

$\begin{eqnarray*} -<x-y,x-y> - <w-y,w-y> -2<x-y,w-y> \leq 0 \end{eqnarray*}$

gekommen, aber das kann ich auch nich geeignet abschätzen, oder überseh ich da was?

habt ihr vllt einen anderen Ansatz für mich? ( eventuell auch für die Rückrichtung smile

)

lieben gruß und danke

27.06.2009, 22:55

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Betrachte die Punkte auf der Strecke von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ , welche man durch

$\begin{eqnarray*} w_{\lambda} := y + \lambda\cdot (w-y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq \lambda \leq 1 \end{eqnarray*}$

beschreiben kann. Die müssen aufgrund der Konvexität alle in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ liegen.

Außerdem gilt für diese Punkte gemäß Minimaleigenschaft von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \|x-y\| \leq \|x-w_{\lambda}\| = \|(x-y)-\lambda(w-y)\| \end{eqnarray*}$ .

Quadriere das und schreib es mit dem Skalarprodukt...

P.S.: Welche Rückrichtung? verwirrt

28.06.2009, 13:43

JePa

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also ich habe jetzt mit deinem tip:

$\begin{eqnarray*} 2<w-y,x-y> \leq \lambda||w-y||^2 \end{eqnarray*}$

kann ich jetzt einfach sagen für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ folgt die behauptung?

mit Rückrichtung meine ich, dass ich die Äquivalenz der beiden Aussagen zeigen soll:

es fehlt jetzt also noch:

$\begin{eqnarray*} <x-y,w-y> \leq 0 \forall w \in K \Rightarrow d\left(x,y\right)=d\left(x,K\right)=inf\left\{||x-y||_2 : y \in K \right\} \end{eqnarray*}$

aber eigentlich gelten doch in der obigen Herleitung überall die Äquivalenzen, daher brauche ich doch im Prinzip die Rückrichtung nicht noch einmal explizit zu zeigen?

29.06.2009, 06:46

JePa

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oder doch?

29.06.2009, 18:46

JePa

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es wär ganz dolle lieb, wenn mir noch einer was dazu sagen könnte, denn ich muss die aufgabe morgen abgeben...

und falls nich trotzdem vielen dank smile

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