Cobb- Douglas- Produktionsfunktion

26.06.2009, 08:33

imag

Cobb- Douglas- Produktionsfunktion

Hallo
Ich will die folgende Aufgabe lösen udn hätte da ein paar Fragen! Die Aufgabe lautet:
Es seien $\begin{eqnarray*} \alpha_1,...,\alpha_d, c>0 \end{eqnarray*}$ Die Cobb-Douglas- Produktionsfunktion $\begin{eqnarray*} P: (0,\infty)^d \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist definiert durch
$\begin{eqnarray*} P(x)=P(x_1,...,x_d):= c \cdot \prod_{j=1}^d x_j^{\alpha_j} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x=(x_1,...,x_d)^T \in (0, \infty)^d) \end{eqnarray*}$ .
a) Untersuche P auf Homogenität
d.h. es muss gelten: $\begin{eqnarray*} f(tx)=t^{\alpha}f(x) \end{eqnarray*}$ Also habe ich:
$\begin{eqnarray*} c \cdot \prod_{j=1}^d (tx_j)^{\alpha_j}=c \cdot \prod_{j=1}^d t^{\alpha_j}\cdot x_j^{\alpha_j} \end{eqnarray*}$ und herauskommen müsste doch:
$\begin{eqnarray*} t^{\alpha}P(x)=t^{\alpha}\cdot c \cdot \prod_{j=1}^d x_j^{\alpha_j} \end{eqnarray*}$ und ich glaubte darauf müsste ich auch irgendwie kommen, weil die Funktion homogen ist oder? Aber wie?
b) Berechne für j=1,...,d die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} \partial_j P \end{eqnarray*}$
Hier weiß ich nicht recht wie ich da anfangen kann.
Kann mir da jemand einen Tipp geben?

26.06.2009, 10:05

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RE: Cobb- Douglas- Produktionsfunktion
$\begin{eqnarray*} c \cdot \prod_{j=1}^d (t^{\alpha_j}\cdot x_j^{\alpha_j})=t^{\alpha_1+\dots+\alpha_d}\cdot P(x) \end{eqnarray*}$

26.06.2009, 10:11

imag

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RE: Cobb- Douglas- Produktionsfunktion
Danke für die Antwort. Wusste nicht ob ich das so einfach machen kann. Kannst du mir vielleicht auch bei der b) weiterhelfen?

26.06.2009, 10:20

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RE: Cobb- Douglas- Produktionsfunktion
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x_2}(x_1^a\cdot x_2^b \cdot x_3^c)= x_1^a\cdot (bx_2^{b-1})\cdot x_3^c \end{eqnarray*}$

Dahinter steckt lediglich, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} (c\cdot x)=c \end{eqnarray*}$ für alle Konstanten c.

26.06.2009, 10:29

imag

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RE: Cobb- Douglas- Produktionsfunktion
Das heißt ich hätte dann:
$\begin{eqnarray*} \partial_j P=c \cdot \prod_{j=1}^d \alpha_j x_j^{\alpha_j-1} \end{eqnarray*}$ ?
Verstehe das im Prinzip schon. Habe aber ein paar Probleme wie ich das richtig schreibe. Bin mir da nie sicher.

26.06.2009, 10:30

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RE: Cobb- Douglas- Produktionsfunktion

Zitat:

Original von imag
Das heißt ich hätte dann:
$\begin{eqnarray*} \partial_j P=c \cdot \prod_{j=1}^d \alpha_j x_j^{\alpha_j-1} \end{eqnarray*}$ ?

Nein! Denn für $\begin{eqnarray*} i\not= j \end{eqnarray*}$ bleiben die "Zahlen" $\begin{eqnarray*} x_i^{\alpha_i} \end{eqnarray*}$ bei der partiellen Differentiation nach j unverändert.

26.06.2009, 10:59

imag

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RE: Cobb- Douglas- Produktionsfunktion
Hätte ich dann der erste teil c wenn $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ und der 2. teil für i=j?
Also:
$\begin{eqnarray*} \partial_j P=c \cdot \alpha_j x_j^{\alpha_j-1} \end{eqnarray*}$

26.06.2009, 11:19

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RE: Cobb- Douglas- Produktionsfunktion
Also was genau ist jetzt dein c?

26.06.2009, 13:29

imag

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RE: Cobb- Douglas- Produktionsfunktion
Also eigentlich meinte ich das c das in der Ursprungsfunktion vor dem Produktzeichen steht. Aber fehlt in meiner partiellen Ableitung nicht irgendwie das Produkzeichen? oder kann man das so schreiben?

28.06.2009, 12:49

imag

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RE: Cobb- Douglas- Produktionsfunktion
Kann mir da vielleicht jemand noch einen Tipp geben? Komme nicht weiter. Wäre echt super!

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