paradoxe Maßtheorie

19.09.2006, 11:12

IchDerRobot

paradoxe Maßtheorie

Sei (a_n) eine Folge positiver reeller Zahlen mit sum a_n = 1.
Existiert dann eine Folge (I_n) von abgeschlossenen paarweise disjunkten Intervallen I_n der Länge a_n, die alle im offenen Intervall (0, 1) liegen?

Robot

19.09.2006, 11:21

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Ja, die gibt es. Augenzwinkern

19.09.2006, 12:02

IchDerRobot

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Wie zeigt man das?
Es widerspricht meiner Intuition, dass man abgeschlossene disjunkte Intervalle der Gesamtlänge 1 in ein offenes Intervall der Länge 1 packen kann. geschockt

Aber für sum a_n > 1 geht das nicht mehr, oder?
Und wenn fast alle a_n gleich 0 sind, dann geht das auch nicht, richtig?
Das Problem liegt also mal wieder in meiner unzureichenden Vorstellung vom Unendlichen.

Und kann man die Intervalle I_n explizit angeben, wenigstens für bestimmte Folgen (a_n)?

Robot

19.09.2006, 12:09

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Das ist richtig, die Voraussetzung der Positivität der $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist essentiell, zumindest von unendlich vielen dieser $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

Bei der Intervallplatzierung solltest du dich von der Konstruktion der Cantor-Menge inspirieren lassen.

19.09.2006, 18:25

IchDerRobot

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Es ist klar, dass ich die Intervalle mit positivem Abstand voneinander platzieren muss. In die Lücken kann ich später kleinere Intervalle stecken, sodass noch kleinere Lücken entstehen.
Aber ich wüsste nicht, wie ich anfangen soll, um sicher zu sein, dass tatsächlich alle Intervalle reinpassen. Oder ist das egal, weil sowieso genug kleine Intervalllängen zur Verfügung stehen?

Robot

19.09.2006, 18:55

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Zitat:

Original von IchDerRobot
Aber ich wüsste nicht, wie ich anfangen soll, um sicher zu sein, dass tatsächlich alle Intervalle reinpassen. Oder ist das egal, weil sowieso genug kleine Intervalllängen zur Verfügung stehen?

Robot

Nein, es ist nicht egal, man muss schon sorgfältig vorgehen: Ich betrachte mal den einfacheren Fall, dass alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ positiv sind (nicht nur unendlich viele).

Dann wollen wir ein Intervall der Menge $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ "in der Mitte" platzieren und teilen zu diesem Zweck die Restfolge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=2,3,\ldots} \end{eqnarray*}$ in die zwei Teilfolgen $\begin{eqnarray*} (a_{2n})_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ mit Reihensumme $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_{2n+1})_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ mit Reihensumme $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ .

Offenbar ist dann $\begin{eqnarray*} g+a_1+u=1 \end{eqnarray*}$ und wir platzieren das Intervall der Länge $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ an Position $\begin{eqnarray*} [g,g+a_1] \end{eqnarray*}$ . Teilfolge 1 kommt in die linke Lücke, Teilfolge 2 in die rechte Lücke. Und jetzt dieselbe Prozedur wie eben für beide Lücken usw. - unendlicher Abstieg.

Auf diese Weise werden alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ irgendwann als Intervall verbraten, die Lücken links und rechts solcher Intervalle gewährleisten die Disjunktheit aller dieser Intervalle. smile

19.09.2006, 19:46

IchDerRobot

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Faszinierend.
Was außerhalb der Intervalle übrig bleibt, hat dann das Maß 0, und sieht wie eine Cantor-Menge ohne die Intervall-Randpunkte aus.

Robot

19.09.2006, 20:19

irre.flexiv

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Woran scheitert das Verfahren eigentlich falls $\begin{eqnarray*} \sum a_n > 1 \end{eqnarray*}$ . Vielleicht ist es offensichtlich aber ich sehe es gerade nicht.

19.09.2006, 20:26

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In diesem Fall stößt du irgendwann in dieser "Abstiegsprozedur" auf eine Folge, wo das zu platzierende Kopfelement größer als die zugewiesene Lücke ist!

19.09.2006, 20:52

irre.flexiv

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aber was garantiert mir das das auch nach endlich vielen Schritten passiert?

19.09.2006, 20:55

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Wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} ~ a_n> 1 \end{eqnarray*}$ , dann findest du ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^N ~ a_n> 1 \end{eqnarray*}$ . Und spätestens nachdem du diese $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Intervalle platziert hast - besser gesagt, platzieren willst - passiert das Unvermeidliche.

Nochmal die ersten platzierten Intervalle in ihrer Anordnung innerhalb [0,1]:

$\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2,a_1,a_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4,a_2,a_6,a_1,a_5,a_3,a_7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_8,a_4,a_{12},a_2,a_{10},a_6,a_{14},a_1,a_9,a_5,a_{13},a_3,a_{11},a_7,a_{15} \end{eqnarray*}$
usw.

19.09.2006, 21:02

irre.flexiv

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Ach

danke

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