Grenzwert

26.06.2009, 13:19

lorenz1980

Grenzwert

Hi,

ich stolpere gerade ein wenig über folgenden Grenzwert
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to \infty} (x^2sin(\frac{1}{x}))<br /> \end{eqnarray*}$

x^2 divergiert bestimmt gegen unendlich, 1/x gegen Null und somit der Sinus(1/x) gegen Null.
Normal würde das heißen, dass Null rauskäme, weil einer der Faktoren Null ist, jedoch sagen CAS, dass die Folge gegen inf läuft... Wie nähere ich dieser Aufgabe also korrekt?!

26.06.2009, 13:21

Dual Space

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RE: Grenzwert
Kennst du den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$

??

26.06.2009, 14:27

Valdas Ivanauskas

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von lorenz1980
Normal würde das heißen, dass Null rauskäme weil einer der Faktoren Null ist

Dieser Unfug ist offenbar nur schwer auszumerzen!

Zur Verdeutlichung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} \frac 1x=0. \end{eqnarray*}$

Und "normal" bedeutet dies nicht, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left( x\cdot \frac 1x\right) =0. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von lorenz1980
Wie nähere ich dieser Aufgabe also korrekt?!

Durch eine winzige Umformung bekommt der Term eine Gestalt, die die Anwendbarkeit der Regel von L'Hospital offenbart.

26.06.2009, 14:35

AnalysisTutor

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RE: Grenzwert

Zitat:

x^2 divergiert bestimmt gegen unendlich, 1/x gegen Null und somit der Sinus(1/x) gegen Null.
Normal würde das heißen, dass Null rauskäme, weil einer der Faktoren Null ist

Das ist nicht ganz richtig, was du dir anhand kleiner Beispiele verdeutlichen kannst.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x^2 \cdot \frac{1}{x}=\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1}{x^2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1}{x}=1 \end{eqnarray*}$

Der Punkt ist, dass der eine Faktor nicht gleich Null ist, sondern gegen Null konvergiert.
Zur Lösung: Über die Potenzreihe von sin kommt man schnell auf eine Lösung.

26.06.2009, 22:23

Dual Space

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von AnalysisTutor
Zur Lösung: Über die Potenzreihe von sin kommt man schnell auf eine Lösung.

Ähm ... die Frage wurde im Schulforum gestellt. Da werden nur selten Reihenentwicklungen besprochen. verwirrt

30.06.2009, 20:12

lorenz1980

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von Dual Space

Zitat:

Original von AnalysisTutor
Zur Lösung: Über die Potenzreihe von sin kommt man schnell auf eine Lösung.

Ähm ... die Frage wurde im Schulforum gestellt. Da werden nur selten Reihenentwicklungen besprochen. verwirrt

Heißt nun?!
Bei oben genannten Beispielen von AnalysisTutor würde man ja kürzen, wodurch das Ergebnis jedesmal sofort ablesbar ist.
In meinem Beispiel kann ich ja nun nicht kürzen... Könnte ich da also ohne Reihenentwicklung zur Lösung kommen?!

Und was für Reihenentw. wären gemeint? Taylorreihe?

01.07.2009, 15:15

eierkopf1

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RE: Grenzwert
Habt ihr die Regel von de l'Hospital gelernt?

Ich schätze, dass ihr es damit lösen sollt und nicht mit Reihendarstellungen.

01.07.2009, 18:33

lorenz1980

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von eierkopf1
Habt ihr die Regel von de l'Hospital gelernt?

Ich schätze, dass ihr es damit lösen sollt und nicht mit Reihendarstellungen.

Ist l'Hospital nicht für Brüche...?
Denn wenn ich die o.g. Funktion ableite, erhalte ich ja
2x sin(1/x)-cos(1/x)
und bin damit so schlau wie vorher...
1/x kgt. gegen Null. Der Sinus somit gegen Null, der Cosinus gegen 1. 2x gegen inf.

Somit hätte ich 2*inf*0-1 = -1 und damit nicht inf!

01.07.2009, 19:18

Dual Space

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RE: Grenzwert
lorenz1980: Beantworte doch bitte mal meine Frage:

Zitat:

Original von Dual Space
Kennst du den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$

??

01.07.2009, 20:30

lorenz1980

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von Dual Space
lorenz1980: Beantworte doch bitte mal meine Frage:

Zitat:

Original von Dual Space
Kennst du den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=0/0 \end{eqnarray*}$
Somit nutze ich l'Hospital und erhalte
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1 \end{eqnarray*}$

01.07.2009, 22:13

Dual Space

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RE: Grenzwert
OK. Nun substituiere mal y=1/x.

05.07.2009, 10:29

lorenz1980

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Und diese Substitution probiere ich immer dann, wenn ich auf Terme stoße, in denen ich Null mal inf bekomme?!

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