Dreifachintegral über zylinderkoordinaten

26.06.2009, 19:24

dersmu81

Dreifachintegral über zylinderkoordinaten

und ich hab noch eine Aufgabe, ich find jetzt aber wirklich keinen gescheiten Ansatz.

Berechnen Sie:

$\begin{eqnarray*} \int\int\int_B\sqrt{z^3}\sqrt{x^2+y^2}dxdydz \end{eqnarray*}$

durch Übergang zu zylinderkoordinatenn wenn

$\begin{eqnarray*} B=\lbrace(x,y,z):y\geq 0;0\leq z\leq a (a\geq 0),x^2+y^2+2x\leq 0\rbrace \end{eqnarray*}$

Also ich kenn mich mit Zylinderkoordinaten leider nicht wirklich aus, ich hab jetzt ein paar seiten dazu gelesen, werd aber nicht wirklich so richtig schlau draus.

hab jetzt nur gefunden
$\begin{eqnarray*} <br /> y=r sin \varphi \; , x= r cos \varphi \; , z=z \; , r=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

und mann muss bei dem übergang für $\begin{eqnarray*} dV=r drd\varphi dz \end{eqnarray*}$ benutzen

heißt das jetzt ich müsste rechnen $\begin{eqnarray*} \int\int\int_B(\sqrt{z^3}*r) r drd\varphi dz \end{eqnarray*}$

und wie ich an die Grenzen komme, kann ich mir grad überhaupt nicht erklären

27.06.2009, 17:45

Raumpfleger

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RE: Dreifachintegral über zylinderkoordinaten

Zitat:

Original von dersmu81
und wie ich an die Grenzen komme, kann ich mir grad überhaupt nicht erklären

Wenn das so ist, dann bist Du bereits über die Grenzen hinaus ... der gegebene Integrationsbereich muss in Zylinderkoordinaten ausgedrückt werden.
Die Grenze in r hängt von phi ab, wenn der Integrationsbereich so stimmt, wie er da steht.

27.06.2009, 18:42

dersmu81

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hmm wir hatten uns das so gedacht

$\begin{eqnarray*} \int_0^a\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\int_0^{-2cos\varphi}\sqrt{z^3}r^2drd\varphi dz \end{eqnarray*}$

28.06.2009, 08:11

Raumpfleger

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Die Forderung y > 0 bringt $\begin{eqnarray*} \int_0^\pi d\varphi \end{eqnarray*}$ .

Schau Dir das B auf dem Bildchen an - wäre es nicht gut, die Zylinderachse an der Stelle (-1, 0) durch die x-y-Ebene stechen zu lassen?

28.06.2009, 09:31

Huggy

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Zitat:

Original von Raumpfleger
Die Forderung y > 0 bringt $\begin{eqnarray*} \int_0^\pi d\varphi \end{eqnarray*}$ .

Richtig. Aber die Bedingung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+2x\leq 0 \end{eqnarray*}$ schränkt den Bereich dann auf $\begin{eqnarray*} [\pi/2, \pi] \end{eqnarray*}$ ein. Siehe dein Bild.

Zitat:

Schau Dir das B auf dem Bildchen an - wäre es nicht gut, die Zylinderachse an der Stelle (-1, 0) durch die x-y-Ebene stechen zu lassen?

Die Idee hatte ich auch. Aber macht es die Sache wirklich leichter? Man hat dann zwar einfache Integrationsgrenzen, aber der Integrand ist merklich unschöner.

28.06.2009, 11:38

dersmu81

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ok, jetzt kann ich mir B auch schonmal etwas besser vorstellen.
Leider hatten wir Zylinderkoordinaten nicht gehabt. aber das soll nicht heißen, das ich das jetzt nicht doch versuchen will.

Also ich denke mal die Integrationsgrenzen könnten dann schonmal stimmen.
Jetzt nur nochmal die Frage

Stimmt mein Integrand, also wenn ich von kartesischen zu Zylinderkoordinaten gehe.

also (sorry wenn das jetzt mathematisch nicht korrekt sein sollte, aber ihr wisst sicher was ich meine).

$\begin{eqnarray*} \int\int\int_B\sqrt{z^3}\sqrt{x^2+y^2}dxdydz\rightarrow\int\int\int_B\sqrt{z^3}r^2drd\varphi dz \end{eqnarray*}$