Konstruktion linearer Abb. mit folg. Bedingungen

27.06.2009, 14:46

Hustle4Cash

Konstruktion linearer Abb. mit folg. Bedingungen

1. Semster Lineare Algebra
Aufgabe :
Es seien V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und U ein Unterraum von V. Konstruieren Sie:
a) eine Abb. $\begin{eqnarray*} f \in L(V,V) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Bild(f)=U \end{eqnarray*}$ ;
b) eine Abb. $\begin{eqnarray*} g \in L(V,V) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Kern(g)=U \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage ist, ob hier ein konkretes Beispiel, die Aufgabe beantwortet oder, ob ich hier allgemeiner vorgehen muss. Zum Beispiel über eine Projektion. Das Thema haben wir noch nicht in der Vorlesung behandelt.

Wenn V gleich $\begin{eqnarray*} \mathbb R³ \end{eqnarray*}$ wäre, könnte man f so definieren:
$\begin{eqnarray*} f(x) =A x \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R ³\times ³ \end{eqnarray*}$
Das bekomme ich dann hin, aber stellt das denn die Aufgabe zufrieden?

27.06.2009, 14:58

WebFritzi

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Arbeite mit Basen. Am leichtesten gestaltet es sich, wenn du eine Basis {u1,...,uk} zu einer Basis von V ergänzt.

27.06.2009, 15:03

kiste

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Die wichtigen Sätze hier sind der Basisergänzungssatz und der Existenz und Eindeutigkeitssatz für lineare Abbildungen.

27.06.2009, 15:36

Hustle4Cash

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Okay, aber wie genau sieht denn dann f aus? verwirrt

:
Ich soll doch eine Abb. konstruieren. Was soll ich denn da mit den Basen anstellen?
Ich würde f dann so definieren:
$\begin{eqnarray*} f =f² = f \end{eqnarray*}$ ° $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$
habe öfters gelesen, dass f linear ist, aber das zu zeigen schaff ich nicht geschockt

Dann wäre auf jeden Fall die direkte Summe aus $\begin{eqnarray*} Bild(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} kern(f) \end{eqnarray*}$ gleich V.
Den Beweis dazu hab ich hinbekommen.
Möchte eigentlich nur Wissen, wie der Beweis zur Linearität von $\begin{eqnarray*} f = f² \end{eqnarray*}$ aussehen könnte.

Danke für die Antworten Freude

27.06.2009, 15:54

kiste

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Schön das du nicht im geringsten auf unsere Antworten eingehst unglücklich

Lege eine Basis durch U und definiere die Abbildung auf dieser Basis!

27.06.2009, 16:26

Hustle4Cash

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Sorry, aber hatte eine andere Idee, als dein Vorschlag war.

Nun ja wenn ich also die Basis von U definiere als {u1, ... , uk}
dann soll span(u1, ... ,uk) = Bild(f) gelten
$\begin{eqnarray*} y \in Bild(f), y = \sum_{i=1}^k~ \lambda i*ui \end{eqnarray*}$
Nun soll zu jedem y ein x existieren mit: f(x) = y
Jetzt suche ich eine Abb. die genau das mit jedem x-Wert tut, oder?
Und wie genau kann ich dann f konstruieren? Steh da ein wenig in der Luft.
Bin am verzweifeln, denke mir fehlt da noch eine Grundlage, den Weg zu verstehen.
Könntest du etwas genauer deinen Weg klar machen?

27.06.2009, 16:43

kiste

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Was sagt den der Existenz und Eindeutigkeitssatz linearer Abbildungen aus?

27.06.2009, 16:59

Hustle4Cash

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Hmm also den Existenzsatz einer lin. Abb. haben wir gar nicht gehabt bisweilen. Ich versuchs mal wieder zugeben, wie ich das verstanden habe.
Man kann jede lin. Abb. durch eine Matrix darstellen, vorrausgesetzt die VR sind endlich dimensional. Dazu braucht man eine Matrix aus dem Definitionsraum und eine aus der Zielmenge. Speziell hier also aus V und aus U, richtig? verwirrt

Wie bildet man diese Matrix? Hab das nicht ganz verstanden...

Eine lin. Abb. ist eindeutig:
$\begin{eqnarray*} f,g \in L(V,W) , (x^i)I \in I \end{eqnarray*}$ ein ES von V,
dann $\begin{eqnarray*} f=g \end{eqnarray*}$

27.06.2009, 17:04

kiste

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https://lp.uni-goettingen.de/get/text/2373

Man kann eine lin. Abbildung also definieren allein auf den Basiselementen.

Du hast jetzt ne Basis (u_1,..,u_n,v_1,..,v_k) von V wobei die u_i eben die Basis von U bilden. Jetzt willst du das U das Bild ist. Wie kannst du die Basis abbilden so dass das gewährleistet ist?

27.06.2009, 20:46

Hustle4Cash

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Danke für den tollen Link smile

Jetzt hab ich's endlich gecheckt:

Sei $\begin{eqnarray*} B=(v_{1},...,v_{n}) \end{eqnarray*}$ Basis von V
$\begin{eqnarray*} v \in V: v=\sum_{i=1}^n~ \lambda_{i} v_{i} v=\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n} f(v)=\lambda_{1}f(v_{1})+...+\lambda_{n}(v_{n}) f(v)=\lambda_{1}f(v_{1})+...+\lambda_{n}(v_{n}) f(v)=\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{r}(v_{r}) r \leq n \end{eqnarray*}$
jetzt sieht f also so aus: $\begin{eqnarray*} f(v)=\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{r}(v_{r}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U=span(v_{1},...,v_{r}) \end{eqnarray*}$
Dann muss ich jetzt noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(v+v')=f(v)+f(v') \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\lambda v)=\lambda f(v) \end{eqnarray*}$
Aufgrund der geltenden Rechenregeln für einen Körper ist das aber kein Problem
Dank dir kiste Freude

War für mich so irritierend nach na konkreten Funktion zu suchen. Die b) dürfte damit auch kein Problem sein.

27.06.2009, 21:54

kiste

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Ja oder einfacher geschrieben: Alle u_i gehen auf sich selbst, die restlichen einfach auf 0

28.06.2009, 10:01

Hustle4Cash

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ja okay, leuchtet ein. Genau das brauch ich für die b).
Wenn man davon ausgeht, dass alle Basisvektoren von V auf sich selbst oder 0 abgebildet werden, dann ergibt sich die Annahme, dass die direkte Summe aus Bild(f) und Kern(f) = V ist.
Also für die b) setze ich dann einfach g = f
Dann ergibt sich mit der Dimensionsformel:

$\begin{eqnarray*} dim Kern(f) + dim Bild(f) = dim V \Rightarrow dim (Kern(f) \oplus Bild(f)) = dim V \Rightarrow Kern(f) \oplus Bild(f) = V \Rightarrow Kern(f) = V-Bild(f) \Rightarrow Kern(f) = span(v_{1},...,v_{n}) - span(v_{1},...,v_{r}) = span(v_{r+1},...,v_{n}) \end{eqnarray*}$

=> Kern(f)ist UR von V

Im Schnitt von Bild(f) und Kern(f) liegt dann nur der Nullvektor
f ist linear, schon bei a) gezeigt, damit wäre ich also fertig.

Kann das jemand vlt noch absegnen? smile

28.06.2009, 21:25

WebFritzi

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Zitat:

Original von Hustle4Cash
Ich versuchs mal wieder zugeben, [...]

Wenn das die Auswirkung der neuen Rechtschreibung ist, weiß ich auch nicht mehr... unglücklich

29.06.2009, 10:24

Hustle4Cash

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oh bin ich hier etwa im Deutschboard gelandet?

Wenn du nichts zum Thema beiträgst, dann sei doch bitte leise -.-

29.06.2009, 12:44

WebFritzi

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Erstens hatte ich bereits etwas zum Thema beigetragen, und zweitens hätte ich obiges auch geschrieben, wenn dem nicht so gewesen wäre. Was soll übrigens "V - Bild(f)" sein? Augenzwinkern

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