Vektorrechnung

19.09.2006, 14:12

LouKoller

Vektorrechnung

Hallo,
brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:
Gegeben sind die Koordinaten der drei Punkte
P1: x1=5 y1=2 z1=1
P2: x2=5 y2=-2 z2=1
P3: x3=-1 y3=0 z3=5
Gleichung der ebene in vektorieller Form

$\begin{eqnarray*} x=t*\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} s*\begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Geben sie die Komponenten eines Einheitsvektors an, der senkrecht auf dieser Ebene steht
b) Gleichung der Ebene in der Hesseschen Normalform
c) Abstand dieser Ebene zum Ursprung

P.S.: Ich hab irgendwie keine Ahnung, da ich nirgends Formeln finde

19.09.2006, 14:19

klarsoweit

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RE: Vektorrechnung
Immer diese sture Formelglauben. unglücklich

Nachdenken ist gefordert. Und war das nicht im Unterricht gezeigt worden?

Nun gut. zu a) gibt es 2 Möglichkeiten:
1. Bilde das Vektorkreuzprodukt der 2 Richtungsvektoren
2. Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Normalenvektor ist, dann ist das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor und den Richtungsvektoren Null. Das liefert 2 Gleichungen, woraus man den Normalenvektor bestimmen kann.

19.09.2006, 14:19

riwe

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RE: Vektorrechnung
wie bist du denn auf diese form der darstellung gekommen,
sehr interessant? verwirrt

sagt dir vektorprodukt etwas?
werner

19.09.2006, 14:32

LouKoller

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wie man die Gleichung der ebene hab ich nach meinem Script bestimmt.

Das Kreuzprodukt ist dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -16 \\ 0 \\ 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann müßte der Vektor doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{832}} \begin{pmatrix} -16 \\ 0 \\ 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein, oder?

19.09.2006, 14:37

klarsoweit

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RE: Vektorrechnung

Zitat:

Original von LouKoller
Das Kreuzprodukt ist dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -16 \\ 0 \\ 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann müßte der Vektor doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{832}} \begin{pmatrix} -16 \\ 0 \\ 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein, oder?

Stimmt! Du kannst noch teilweise die Wurzel ziehen: 832 = 64*13 .

19.09.2006, 14:39

LouKoller

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Juhu! danke. wie wird denn dann die Hessesche Normalform gebildet?

19.09.2006, 14:43

klarsoweit

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Multipliziere die Parameterform der Ebenengleichung mit dem Normalenvektor.

19.09.2006, 14:48

LouKoller

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Sorry. aber das versteh ich gerade überhaupt nicht

19.09.2006, 14:57

klarsoweit

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RE: Vektorrechnung
Das ist doch deine Ebene in der Parameterform:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung kannst du mit dem Normalenvektor multiplizieren (Skalarprodukt).

19.09.2006, 15:21

LouKoller

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RE: Vektorrechnung
ist das dann

$\begin{eqnarray*} \frac{56}{\sqrt{832}} \end{eqnarray*}$ ?

19.09.2006, 15:25

klarsoweit

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RE: Vektorrechnung
Quark. unglücklich

Es steht dann da:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \vec{n} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \vec{n} + s \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \vec{n} \end{eqnarray*}$

Jetzt berechne mal die Skalarprodukte.

19.09.2006, 18:26

LouKoller

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Sorry, bin gerade erst wiedergekommen

da steht dann:

-16x+24z=56+192s

Stimmt das?

19.09.2006, 19:24

klarsoweit

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Wieso 56? Und warum 192s. Wo ist die Wurzel(832) geblieben?

PS: mache jetzt Feierabend. Augenzwinkern