a³+b³; Hilfe beim Zerlegen

19.09.2006, 14:24

w³

a³+b³; Hilfe beim Zerlegen

Hallo!

Wie kann ich aus a³+b³ eine Summe oder Differenz ausklammern?
Wie geht das z.B. mit (a+b)?
a²+b² ist ja nicht weiter zerlegbar, aber a³+b³ irgendwie schon glaube ich. smile

Danke schonmal

19.09.2006, 14:25

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$\begin{eqnarray*} a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \end{eqnarray*}$

19.09.2006, 14:49

w³

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \end{eqnarray*}$

Hey klasse aber das ist keine binomische Formel oder?
$\begin{eqnarray*} (a^2-ab+b^2) \end{eqnarray*}$

Oder doch, falls man sie so umformt?
$\begin{eqnarray*} (a^2-2*(\frac{ab}{2})+b^2) \end{eqnarray*}$

Ist diese Umformung völlig korrekt, um aus dem Term die 2. binomische Formel zu formen?

19.09.2006, 14:57

brain man

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Servus !

Diese Umformung lässt den Term nicht zu einer binomischen Formel werden, da nicht erfüllt ist :

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

19.09.2006, 15:06

Leye

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Was moechtest du genau? Ein Produkt?
Die Formel, die Arthur Dent erwaehnt hat, ist die Faktorisierung einer Addition zweier Kubikzahlen, genauso wie $\begin{eqnarray*} (a + b)^{2} \end{eqnarray*}$ die Faktorisierung fuer $\begin{eqnarray*} a^{2} + 2ab = b^{2} \end{eqnarray*}$ ist.

19.09.2006, 15:19

w³

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Zitat:

Original von Leye
Was moechtest du genau? Ein Produkt?
Die Formel, die Arthur Dent erwaehnt hat, ist die Faktorisierung einer Addition zweier Kubikzahlen, genauso wie $\begin{eqnarray*} (a + b)^{2} \end{eqnarray*}$ die Faktorisierung fuer $\begin{eqnarray*} a^{2} + 2ab = b^{2} \end{eqnarray*}$ ist.

Ich las das über diese Umformung im Kapitel über binomische Formeln.

Uns bringt aber die Zerteilung von $\begin{eqnarray*} a^3+b^3 = (a+b) * (a^2-ab+b^2) \end{eqnarray*}$ im Grund garnichts und soll nur zeigen, wie man prinzipiell umformen kann oder?

Ganz im Gegenteil bei $\begin{eqnarray*} (a+b)^n \end{eqnarray*}$ bringt uns die Zerlegung in die binomische Formel viel, da es mühseelig wäre, die Klammer auszumultiplizieren?

19.09.2006, 15:35

therisen

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Zitat:

Original von w³
Uns bringt aber die Zerteilung von $\begin{eqnarray*} a^3+b^3 = (a+b) * (a^2-ab+b^2) \end{eqnarray*}$ im Grund garnichts und soll nur zeigen, wie man prinzipiell umformen kann oder?

Diese Umformung ist häufig nützlich Augenzwinkern

19.09.2006, 17:29

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Das ist doch im Endeffekt auf die Polymondivision zurückzuführen

19.09.2006, 18:00

w³

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Zitat:

Original von therisen
$\begin{eqnarray*} a^3+b^3 = (a+b) * (a^2-ab+b^2) \end{eqnarray*}$

Diese Umformung ist häufig nützlich Augenzwinkern

Sag mal bitte nen Beispiel?

Also $\begin{eqnarray*} (a+b)^9 \end{eqnarray*}$ auszumultiplizieren, wäre viel Arbeit, daher ja mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks (mit Binomialkoeffizienten).

Aber was sollen wir mit $\begin{eqnarray*} a^3+b^3 = (a+b) * (a^2-ab+b^2) \end{eqnarray*}$ machen?
Wie bekommen doch noch nichteinmal eine binomische Formel heraus traurig

19.09.2006, 18:11

brain man

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Zitat:

Aber was sollen wir mit $\begin{eqnarray*} a^3+b^3 = (a+b) * (a^2-ab+b^2) \end{eqnarray*}$ machen?
Wie bekommen doch noch nichteinmal eine binomische Formel heraus traurig

Wenn man mit Variablen rechnet sind Produkte oft günstiger zum Umformen oder beim Ansatzverfahren braucht man auch Produkte um die Lösung zu bestimmen.

Beispiel : $\begin{eqnarray*} x^2 + 15r + 36 = 0 <=> (x+3)(x+12) = 0 \end{eqnarray*}$

Edit : Hab die Variable r noch ergänzt.

19.09.2006, 22:30

w³

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Zitat:

Original von brain man
Wenn man mit Variablen rechnet sind Produkte oft günstiger zum Umformen

Beispiel : $\begin{eqnarray*} x^2 + 15 + 36 = 0 <=> (x+3)(x+12) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich find die linke Seite (die Summe) jetzt günstiger, als das Produkt auf der rechten Seite, um schnell nach x aufzulösen.

Naja, wird sich dann zeigen, wann ich's brauche! geschockt

19.09.2006, 22:45

therisen

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Liegt daran, dass links $\begin{eqnarray*} x^2+15x+36 \end{eqnarray*}$ stehen sollte.

19.09.2006, 22:46

Serpen

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dann sag mir mal die Lösung von
$\begin{eqnarray*} x^2 - 8x + 12 = 0 \end{eqnarray*}$
ohne zu rechnen

19.09.2006, 22:54

w³

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Zitat:

Original von Serpen
dann sag mir mal die Lösung von
$\begin{eqnarray*} x^2 - 8x + 12 = 0 \end{eqnarray*}$
ohne zu rechnen

Hm ja aber warum sollte es hiermit leichter gehn?
Sehe gerade nicht den Kniff, mit dem ich ruckzuck das Ergebnis (im Kopf) erhalte. Also auch Rechenarbeit unglücklich

(Naja, werde sonst morgen mal jeweils die Zeilen für beide Lösungswege nachzählen).

$\begin{eqnarray*} (x+3)(x+12)=0 \end{eqnarray*}$

19.09.2006, 22:58

Serpen

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wenn du die faktorisierte Form hast brauchst du nicht mehr zu rechnen, du kannst es ablesen, denn ein Produkt = 0 wenn einer der Faktoren = 0 -> x muss entweder -3 oder -12 sein bei der Gleichung
Ich versichere dir, dass es schneller ist das abzulesen, selbst wenn du den Satz von Vieta benutzt, der nur 1 oder 2 Zeilen benötigt(wobei du bei ihm eben genau die faktorisierte Form erstellst) smile

19.09.2006, 23:03

w³

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Zitat:

Original von Serpen
wenn du die faktorisierte Form hast brauchst du nicht mehr zu rechnen, du kannst es ablesen, denn ein Produkt = 0 wenn einer der Faktoren = 0 -> x muss entweder -3 oder -12 sein bei der Gleichung
Ich versichere dir, dass es schneller ist das abzulesen, selbst wenn du den Satz von Vieta benutzt, der nur 1 oder 2 Zeilen benötigt(wobei du bei ihm eben genau die faktorisierte Form erstellst) smile

Geil!

Danke Prost

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