Berechnung der Dimension von (symmetrischer Bilinearform + alternierender Bilinearform)

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smiiile Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung der Dimension von (symmetrischer Bilinearform + alternierender Bilinearform)
Hallo,
ich möchte die Dimension von berechnen.

Dabei ist eine symmetrische Billinearform und eine alternierende Bilinearform.



Ich habe mich schon mit der Definition des Binomialkoeffizienten daran versucht.



Bin dabei aber nur auf gekommen.


In meinem Mitschrieb steht aber, dass das ganze gleich sein soll.

Irgendwie komme ich da aber nicht drauf... Kann mir jemand helfen?
Grüße smiiile
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Dimension von (symmetrischer Bilinearform + alternierender Bilinearform)
Zitat:
Original von smiiile
In meinem Mitschrieb steht aber, dass das ganze gleich sein soll.


Das sind Gleichungen, bei denen sich die Balken biegen ... was soll das?
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Dimension von (symmetrischer Bilinearform + alternierender Bilinearform)
Nun zu der Aufgabe, eine symmetrische Bilinearform hat genau wie eine symmetrische Matrix n (n + 1)/2 freie Koeffizienten (n = dim V), eine alternierende Bilinearform hat genau wie eine antisymmetrische Matrix n (n - 1)/2 freie Koeffizienten und so rechnet man schlicht .
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

oh, na klar.. sorry.
Da hab ich die Klammer vergessen.
Es müsste eigentlich heißen

Vielen Dank für deine Antwort, das habe ich soweit verstanden.

Wie komme ich aber auf die Anzahl der freien Koeffizienten? Ich habe einmal versucht, mir das herzuleiten.

Für eine symmetrische Matrix gilt ja
Für eine antisymmetrische Matrix gilt

Wenn ich jetzt die Matrix A in ihren symmetrischen Anteil S und ihren schiefsymmetrischen Anteil T zerlege, komme ich auf




dies sieht ja schon recht ähnlich...
Jetzt komme ich aber nicht weiter...

meine Probleme sind jetzt noch:

Hier müsste ich ja irgendwie die freien Koeffizienten mit reinbringen, weiß aber nicht wie. Also, warum hat z.B eine schiefsymmetrische Matrix freie Koeffizienten?

Warum darf ich die Matrix in ihren symmetrischen und ihren schiefsymmetrischen Anteil zerlegen und wie kann ich mir das vorstellen? Ich habe gelesen, dass dies nur bei quadratischen Matrizen möglich ist.

und was genau sind freie Koeffizienten?
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von smiiile
Wie komme ich aber auf die Anzahl der freien Koeffizienten?


Eine Bilinearform ist ein Ausdruck A(x, x) in n Variablen : .

Eine Bilinearform A heisst symmetrisch, wenn der Koeffizient vor gleich dem Koeffizienten vor ist, d.h. die Koeffizientenmatrix A einer symmetrischen Bilinearform ist per def. symmetrisch (look at this!).

Nun zählt man oder rechnet aus, wieviele frei wählbar sind bei einer symmetrischen Matrix. Entsprechend verfährt man bei der alternierenden Bilinearform.
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich hab das mal probiert mit dem Nachzählen:

Zuerst habe ich mit einer symmetrischen Matrix angefangen. Angenommen ich habe eine symmetrische 3x3 Matrix

also 1.

dann komme ich auf 6 frei wählbare Ich habe sie auch so durchnummeriert.
Wenn ich die Formel anwende, komme ich auf Ich habe also 6 frei wählbare

2.

Bei einer 4x4 Matrix würde dann gelten: Also 10 frei wählbare Elemente (mit denen auf der Diagonalen)

mit der Rechnung ergibt sich



Nun zur alternierenden Bilinearform bzw. schiefsymmetrischen Matrizen

3.

Für eine 4x4 Matrix gilt ja jetzt:
Da diese Matrix ja so definiert ist, dass sich auf der Diagonalen Nullen befinden.

mit der Formel ergibt sich



Das ganze passt jetzt auch mit den Definitionen von meinem ersten Beitrag zusammen..
In unserem Skript steht nämlich

zu 1.

Bei einer 3x3 Matrix wäre das ja

zu 2.

Bei einer 4x4 Matrix wäre das ja

zu 3.

Bei einer 4x4 Matrix wäre das ja


stimmt das so?

Grüße und nochmals vielen Dank
smiiile
 
 
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