charakteristisches Polynom, ich werd noch verrückt

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28.06.2009, 14:25	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
charakteristisches Polynom, ich werd noch verrückt Ich hatte bisher noch nie Probleme ein charakt. Polynom auszurechnen, aber diesmal stimmt irgendwas nicht und ich komme nicht dahinter. Ich soll die Kongruenz zweier Matrizen nachweisen. Dafür wollte ich erstmal die Eigenwerte von A ausrechnen und daran bin ich schon gescheitert. Also das charakt. Polynom müsste wie folgt sein: $\begin{eqnarray} \chi_c(A)=\begin{vmatrix} 2-c & 1 & 8 \\ 1 & -1-c & -5 \\ 8 & -5 & 2-c \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(2-c)^2(1-c)-80-(64(-1-c)+25(2-c)+2-c) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(4-4c+c^2)(-1-c)-80+64+64c-50+25c-2+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-4-4c+4c+4c^2-c^2-c^3-68+90c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-c^3+3c^2+90c-72 \end{eqnarray}$ Und da bekomm ich nun keine Nullstellen raus, habs auch mal mit nem online-Programm versucht zu faktorisieren, das hat aber auch nicht geklappt....
28.06.2009, 14:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt eben kubische Gleichungen, wo die Schulweisheit der erratenen Nullstelle nicht greift: $\begin{eqnarray} -c^3+3c^2+90c-72 \end{eqnarray}$ ist über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[c] \end{eqnarray}$ nicht faktorisierbar.
28.06.2009, 14:38	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, ok das ist ja gut...wir sollen auch zeigen, dass die Matrizen A und B über R kongruent sind, über Q aber nicht.... Aber wie zeige ich dann, dass sie über R kongruent sind?
28.06.2009, 14:43	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme doch einfach $\begin{eqnarray} \chi_c(B) \end{eqnarray}$ und vergleiche.
28.06.2009, 14:49	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Und das reicht dann? Ich dachte, dass zwar kongruente Matrizen dasgleiche ch. Pol. haben, aber der Umkehrschluss, dass wenn zwei Matrizen dasgleiche ch.Pol. haben, sie kongruent sind, nicht erlaubt ist....
28.06.2009, 14:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hattest du denn vor?
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28.06.2009, 14:55	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie versuchen, ein T zu bestimmen, für das gilt: $\begin{eqnarray} A=T^{-1}BT=T^tBT \end{eqnarray}$ . Weiß auch noch nich wirklich wie ich da weiter vorgehen würde, aber was besseres ist mir erstmal nicht eingefallen
28.06.2009, 14:56	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte die Aufgabe so verstanden, dass du nur nachweisen sollst, dass so ein $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ existiert - nicht, dass du es auch ausrechnen sollst.
28.06.2009, 14:58	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dem ist auch so Aber da ich dazu keine Bespielaufgabe habe, geschweige denn weiß wie man eine Kongruenz nachweist, wollte ich versuchen das auszurechnen. Aber wenns einfacher geht, bin ich natürlich froh ^^ Kann man denn aus der Gleichheit der ch. Polynome auf eine Kongruenz schließen?
28.06.2009, 15:15	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Und bei B bekomm was ganz anderes raus: $\begin{eqnarray} \chi_c(B)=\begin{vmatrix} -4-c & -1 & 5 \\ -1 & 2-c & 5 \\ 5 & 5 & 1-c \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(-4-c)(2-c)(1-c)-25-25-(25(2-c)+25(-4-c)+1-c) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(-8+4c-2c+c^2)(1-c)-50-50+25c+100+25c-1+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-8+8c+4c-4c^2-2c+2c^2+c^2-c^3-1+51c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-c^3-c^2+61c-9 \end{eqnarray}$
28.06.2009, 17:31	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hat sich die Sache ja sowieso im negativen Sinne erledigt.
28.06.2009, 17:38	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich glaub da aber nicht recht dran....die Aufgabe lautet ja, ich soll zeigen dass A und B über R kongruent sind und über Q nicht. Das heißt ja, dass die charakt. Pol. über R gleich sein müssten und ich entweder in meiner Rechnung einen Fehler habe oder einen Denkfehler allgemein hab.
28.06.2009, 17:50	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, was heißt dann bei euch "kongruent" ? Ich dachte auch gemäß deiner Lösungsversuche, du meinst damit dasselbe wie ähnliche Matrizen, aber das ist dann offenbar nicht so.
28.06.2009, 20:27	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wie oben schon beschrieben: Zwei Matrizen A, B sind dann kongruent, wenn es eine reguläre Matrix T gibt, sodass $\begin{eqnarray} A=T^tBT \end{eqnarray}$ gilt. Daraus folgt, dass falls T orthogonal ist $\begin{eqnarray} A=T^{-1}BT \end{eqnarray}$ gelten muss, was wiederum mit der Ähnlichkeit der Matrizen definiert ist.
28.06.2009, 21:27	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: Mal wieder falsch gelesen. Sorry.
28.06.2009, 21:29	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wieso Unsinn, was genau Unsinn?
28.06.2009, 21:31	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab editiert. Das kleine Wort "falls" hatte ich überlesen.

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