Transformation

28.06.2009, 17:24	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation Man transformiere folgende Kurve zweiter Ordnung im IR^2 auf ihre euklidische Normalform: $\begin{eqnarray} 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 + 2x_1 - 3x_2 - 5 = 0 \end{eqnarray}$ Was ist damit gemeint? Ich blick da nicht ganz so durch.
28.06.2009, 18:13	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformation Das ist ein Kegelschnitt (welcher?). Ich schätze, du musst eine Hauptachsentransformation durchführen.
28.06.2009, 18:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
ein Bildchen [attach]10839[/attach]
28.06.2009, 22:19	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich nun die Transformation durchführe, wohin werden denn die Koordinatenachsen verschoben und gedreht? Wie sieht der Kegelschnitt dann aus? Edit: Gibt es eine geschickte Möglichkeit auf die Matrix A zu kommen?
29.06.2009, 08:56	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ellipse wird in die 1. oder 2. Hauptlage transformiert. Was ist die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bei dir?
29.06.2009, 14:01	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich mir das hier anschaue: http://upload.wikimedia.org/math/8/5/9/8...59fa6e4cef1.png komm ich auf: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
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29.06.2009, 15:07	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja und jetzt kannst du diese Matrix diagonalisieren.
30.06.2009, 16:05	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann hab ich die Eigenwerte und die Eigenvektoren ausgerechnet. Umgeformt sieht die Gleichung ja so aus: $\begin{eqnarray} x^t\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} 2&-3 \end{pmatrix}x-5=0 \end{eqnarray}$ Dann die Transformation: $\begin{eqnarray} (x')^t\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}x'+\begin{pmatrix} -\frac{5}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}x'-5=0 \end{eqnarray}$ Wenn dies stimmen sollte, hab ich mit qudratischer Ergänzung raus: $\begin{eqnarray} 3(x_1'-\frac{5}{6\sqrt{2}})^2+(x_2'-\frac{1}{2\sqrt{2}})^2-\frac{37}{6}=0 \end{eqnarray}$ Soweit richtig?

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