Dichte von 1/U, U gleichverteilt auf [0,1]

28.06.2009, 19:17

Farisx

Dichte von 1/U, U gleichverteilt auf [0,1]

Hiho, folgende Frage,

U ist wie gesagt gleichverteilt auf [0,1] und ich soll die Dichte von 1/U angeben. Ich kenne für Quotienten von ZVs nur den Weg übers Integral und hier ist 1 ja bestenfalls eine diskrete ZV.

Irgendwer nen Tipp?

28.06.2009, 19:22

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Gehe einfach über die Verteilungsfunktion! Sei also $\begin{eqnarray*} V:= \frac{1}{U} \end{eqnarray*}$ , dann kann $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nur positive Wert >1 annehmen. Für $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ kann man nun umformen:

$\begin{eqnarray*} F_V(x) = P(V\leq x) = P\left( \frac{1}{U} \leq x \right) = P\left( U \geq \frac{1}{x} \right) = 1-F_U\left( \frac{1}{x} \right) = 1-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

28.06.2009, 19:50

Farisx

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Oh danke, dann ist die dichte doch $\begin{eqnarray*} 1/x^2 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt soll ich für 2 ZVs $\begin{eqnarray*} Y_1, Y_2 \end{eqnarray*}$ die unabhängig standard normalverteilt sind zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 1-Y_1/Y_2 \end{eqnarray*}$ die Dichte von 1/U besitzt.

Da hab ich jetzt mit der Formel $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{+\infty}{ |t|*fX_1(z*t)*fX_2(t) dt} \end{eqnarray*}$ genommen und raus hab ich dann $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{(\pi*(z^2+1))} \end{eqnarray*}$

Irgendwie haut das nicht so recht hin :P

28.06.2009, 19:58

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Zitat:

Original von Farisx
Jetzt soll ich für 2 ZVs $\begin{eqnarray*} Y_1, Y_2 \end{eqnarray*}$ die unabhängig standard normalverteilt sind zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 1-Y_1/Y_2 \end{eqnarray*}$ die Dichte von 1/U besitzt.

Das bezweifle ich: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{U} \end{eqnarray*}$ nimmt wie oben erwähnt nur Werte >1 an - das trifft auf $\begin{eqnarray*} 1-Y_1/Y_2 \end{eqnarray*}$ nicht zu, dieser Term kann sämtliche reellen Werte annehmen. Also kann es gar keine Übereinstimung der Verteilungen geben. Augenzwinkern

28.06.2009, 20:39

Farisx

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Du hast natürlich REcht, ich hab mich vertippt, es heisst $\begin{eqnarray*} 1+Y_1/Y_2 \end{eqnarray*}$

28.06.2009, 20:42

Farisx

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Könnte mein Fehler sein, dass ich quasi bei der Dichte von $\begin{eqnarray*} 1+Y_1/Y_2 \end{eqnarray*}$ ausgerechet was die Dichte von $\begin{eqnarray*} Y_1/Y_2 \end{eqnarray*}$ ist und 1 dazu addiert. Müsste ich eher her gehen und $\begin{eqnarray*} 1+Y_1/Y_2 = Y_2/Y_2 + Y_1/Y_2 = Y_1+Y_2/Y_2 \end{eqnarray*}$ Die dichte von letzterem ausrechnen? ALso die Dichte von der Summe und dann der Summe und dem Quotienten?

Gruß und danke schonmal

28.06.2009, 20:47

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Egal, ob $\begin{eqnarray*} 1+\frac{Y_1}{Y_2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{1+Y_1}{Y_2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1-\frac{Y_1}{Y_2} \end{eqnarray*}$ ,.... das sind alles Zufallsgrößen, die sämtliche reellen Werte annehmen können und damit nicht in Frage kommen für eine gleiche Verteilung wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{U} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Wenn ich etwas hier im Matheboard ziemlich scheußlich finde, dann ist es das, wenn Leute falsche Aufgabenstellungen (aus welchen Gründen auch immer) hier darbieten, und sich dann auch durch stichhaltige Argumente nicht davon überzeugen lassen. unglücklich

28.06.2009, 21:06

Faris

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Okay, tut mir leid, ich gelobe Besserung, ich hab die ganze Zeit an dem Zettel rum gerechnet und bin langsam einfach nen bissel durch den Wind.

$\begin{eqnarray*} Y_1 und Y_2 \end{eqnarray*}$ sind standart exponential verteilt. Deshalb dachte ich auch mein 1+ Argument wäre stichhaltig, was natürlich nicht so ist, wenn ich vorher zu bescheuert war, das richtig zu schreiben.

Sorry nochmal.

Da exponentialverteilt dann auch positiv ist, nimmt der Quotient ja acuh nur positive Werte an und $\begin{eqnarray*} 1+Y_1/Y_2 \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$
( $\begin{eqnarray*} Y_2 \end{eqnarray*}$ ist ja auch nur punktweise 0)

Sorry nochmal wegen dem Chaos.

28.06.2009, 21:40

Faris

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In der Hoffnung, dass du mir noch ne Chance gibst: smile

Ich hab nun 2 unabhängig standart exponentialverteilte ZVs und will die Dichte von $\begin{eqnarray*} 1+Y_1/Y_2 \end{eqnarray*}$ Ich hab nun die Dichte von einer neuen ZV $\begin{eqnarray*} Y_3:=Y_1+Y_2 \end{eqnarray*}$ ausgerechet und dabei $\begin{eqnarray*} texp(-t) \end{eqnarray*}$ raus. (Über die Faltung)

Nun müsste ich doch die Dichte von $\begin{eqnarray*} Y_3/Y_2 \end{eqnarray*}$ ausrechnen oder?
Dabei hab ich etwas Schwierigkeiten. Ist es denn bisher richtig?

28.06.2009, 21:57

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Keine gute Idee, denn $\begin{eqnarray*} Y_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_3 \end{eqnarray*}$ sind dann nicht mehr unabhängig. unglücklich

Rechne lieber zuerst die Verteilung von $\begin{eqnarray*} \frac{Y_1}{Y_2} \end{eqnarray*}$ , die Verschiebung um 1 ist danach doch nur noch ein Klacks.

28.06.2009, 22:12

Faris

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Okay, ja macht Sinn, für die Dichte von $\begin{eqnarray*} \frac{Y_1}{Y_2} \end{eqnarray*}$ hab ich dann allerdings $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z+1} \end{eqnarray*}$

Für die Dichte von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{U} \end{eqnarray*}$ hatten wir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^2} \end{eqnarray*}$ .

Wie komme ich denn nun damit weiter?

28.06.2009, 22:20

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Dann will ich mal nachrechnen:

$\begin{eqnarray*} f_{Y_1/Y_2}(z) = \int\limits_0^{\infty} t\cdot f_{Y_1}(zt)\cdot f_{Y_2}(t) ~ \dd t = \int\limits_0^{\infty} t\cdot e^{-(z+1)t} ~ \dd t = \left[ \left( -\frac{t}{z+1} - \frac{1}{(z+1)^2} \right)e^{-(z+1)t} \right]_{t=0}^{\infty} = \frac{1}{(z+1)^2} \end{eqnarray*}$

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