Verteilungsfunktionen

28.06.2009, 22:56

Luci

Verteilungsfunktionen

Hallo hab eine Aufgabe mit ein paar Ansätzen, aber so ganz will es noch nicht..

Aufgabe:
a) Bestimmenn SieP(|X|>3) als Ausdruck der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ mit positivem Argument, falls X~N(1,4) ist.

b) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , falls P(0<X<6)=0,181 und X~N( $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , 4).

c) Es sei X~N(1,4). Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von Y=max(X,1) und zeigen Sie, dass diese Verteilungsfunktion eindeuetig als Mischung einer diskreten und absolut stetigen Verteilungsfunktion darstellbar ist.

Lösungsansätze

a) (ich denk sogar, das könnte ich richtig haben)
$\begin{eqnarray*} P(|X|>3) = 1-P(|X|\leq 3) = 1- P(-3\leq X\leq 3) = 1-(\Phi(\frac{3-1}{2})-\Phi(\frac{-3-1}{2}) ) = 1-(\Phi(1)-(1-\Phi(2))) = 2-0,84134-0,97725=0,18141 \end{eqnarray*}$ richtig?

b) $\begin{eqnarray*} P(0<X<6) = P(1\leq X\leq 5) = \Phi (\frac{5-\mu}{2})-\Phi(\frac{1-\mu}{2}) = 0,818 \end{eqnarray*}$
jetzt müsste man es "nur noch" umstellen und hat das Ergebnis, nur leider hab ich keine Ahnung, wie das gehen soll.

c) $\begin{eqnarray*} F_Y(x) = max(X,1), \mu = 1, \sigma = 2 \end{eqnarray*}$
Ich hab das jetzt so verstanden, dass ich mir also bestimmen muss für welche x die Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi(\frac{x-1}{2}) > 1 \end{eqnarray*}$ ist. Aber eigentlich ist das ja nie größer als 1...

Bin für Ideen und Verbesserungsvorschläge offen.
Vielen Dank
Luci

29.06.2009, 08:50

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RE: Verteilungsfunktionen

Zitat:

Original von Luci
b) $\begin{eqnarray*} P(0<X<6) = P(1\leq X\leq 5) \end{eqnarray*}$

Du rechnest so, als wäre $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine ganzzahlige Zufallsgröße - ist sie aber nicht, sie ist normalverteilt. Und für die Normalverteilung kannst du nicht einfach die Anteile zwischen 0 und 1 bzw. 5 und 6 so einfach wegwerfen, die haben Wahrscheinlichkeiten echt größer als Null!

Es ist also direkt

$\begin{eqnarray*} P(0<X<6) = \Phi \left(\frac{6-\mu}{2}\right)-\Phi\left(\frac{0-\mu}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Luci
jetzt müsste man es "nur noch" umstellen und hat das Ergebnis, nur leider hab ich keine Ahnung, wie das gehen soll.

Da brauchst du dir nicht den Kopf zerbrechen: Es geht nicht auf konventionellem Weg, nur über Näherungsverfahren. Du suchst also die Nullstelle(n) von

$\begin{eqnarray*} g(\mu) = \Phi \left(\frac{6-\mu}{2}\right)-\Phi\left(-\frac{\mu}{2}\right) - 0{,}818 \end{eqnarray*}$ .

Das kannst du nun übe Intervallhalbierungsverfahren, Newton oder sonstwas anstellen. Möglicherweise waren die Aufgabenersteller aber auch einfach auf "Probieren" aus, vorzugsweise erstmal mit ganzzahligen Werten für $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ...

29.06.2009, 11:57

Luci

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okay, habe jetzt für $\begin{eqnarray*} \mu = 2 \end{eqnarray*}$ heraus.

aber warum muss ich aus 0 und 6 nicht 1 und 5 machen? Ich hab in Wikipedia gelesen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} P(x_1 \leq X \leq x_2) = \Phi ( \frac{x_1-\mu}{\sigma})-\Phi ( \frac{x_2-\mu}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

und dass es eben nicht für < gilt. Kannst du mir das erklären? Und hast du noch eine Idee für c?

Dankeschön smile

29.06.2009, 12:16

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Anscheinend vermengst du in deinem Kopf die "echte" Normalverteilung (um die es hier in dieser Aufgabe geht) mit der Normalverteilung, die nur zur Approximation einer Binomialverteilung (um die es hier NICHT geht) genommen wird. Bring mal Ordnung in deine Gedanken!

Für eine echt normalverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt durchaus

$\begin{eqnarray*} P(x_1 \leq X \leq x_2) = P(x_1 < X \leq x_2) = P(x_1 \leq X < x_2) = P(x_1 < X < x_2) = \Phi \left( \frac{x_1-\mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{x_2-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$ ,

und zwar einfach deshalb, weil für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ wie bei jeder stetigen Zufallsgröße die Einzelwahrscheinlichkeiten gleich Null sind, d.h.

$\begin{eqnarray*} P(X=x) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Also nochmal: Klar trennen

Normalverteilung

vs.

Binomialverteilung, die nur durch Normalverteilung approximiert wird.

29.06.2009, 19:10

Luci

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ja okay. das war mir nicht klar, ich dachte, das wäre immer gleich..
Und bei der c? Würd mich auch über einen Ansatz freuen.

29.06.2009, 19:35

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Bei c) gehst du am besten - streng nach Definition - über die Verteilungsfunktion: Es ist

$\begin{eqnarray*} F_Y(t) = P(Y\leq t) = P(\max(X,1) \leq t) \end{eqnarray*}$

Da dieses Maximum mindestens gleich 1 ist, sind Werte von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ kleiner als 1 unmöglich, damit gilt

$\begin{eqnarray*} F_Y(t) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t<1 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} t\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt hingegen

$\begin{eqnarray*} F_Y(t) = P(\max(X,1) \leq t) = P(X \leq t)= F_X(t) \end{eqnarray*}$ .

Den Rest solltest du allein bewältigen können.

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