Konfidenzintervalle - SP-Umfangberechnung

29.06.2009, 08:47

Womby

Konfidenzintervalle - SP-Umfangberechnung

He, ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme:

Aufgabe
Vom Züchterverband soll die Legeleistung der neuen Rasse "fleißiges Huhn" geschätzt werden. Für 64 Hennen dieser Rasse ergab sich eine durchschnittliche Legeleistung pro Jahr von 250 Eiern bei einer geschätzten Standardabweichung s* von 32.
Annahme: Die Legeleistung pro Jahr sei normalverteilt.
Welche SP-Umfang (n) wäre für die Schätzung der durchschnittlichen Legeleistung zum Konfidenzniveau 0,9 nötig, wenn die Breite des Konfidenzintervalls 20 betragen soll?
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit kann mit $\begin{eqnarray*} {\sigma} \end{eqnarray*}$ =40 angenommen werden.

$\begin{eqnarray*} {\alpha} \end{eqnarray*}$ =0,1

Lösung
Stichprobenumfang: n=44

und eben auf diese Lösung komme ich nicht. Ich habe schon verschiedene Wege versucht, aber keiner davon hat zur richtigen Lösung geführt.
Kann mir jemand helfen?

29.06.2009, 08:54

Womby

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe jetzt auch noch eine zweite ähnliche Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme:

Aufgabe
Der Produktionsleiter einer Safterei möchte wissen, wieviel Milliliter seine Maschine im Mittel abfüllt. Er weiß, dass die Abfüllmenge normalverteilt ist und gibt die Standartabweichung mit $\begin{eqnarray*} {\sigma} \end{eqnarray*}$ [X] = 50 ml an. Eine Stichprobe vom Umfang n = 25 liefert eine mittlere Abfüllmenge von $\begin{eqnarray*} {\bar x} \end{eqnarray*}$ = 1020,4 ml.
Wie groß ist das Konfidenzniveau, wenn die Breite des KI 48,2 ml beträgt?

Lösung
1 - $\begin{eqnarray*} {\alpha} \end{eqnarray*}$ = 0,984

Auch hier weiß ich nicht, wie ich es angehen soll???

29.06.2009, 10:29

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konfidenzintervalle - SP-Umfangberechnung
Bei der Normalverteilung entspricht der um den Mittelwert symmetrische 90 % Bereich $\begin{eqnarray*} \pm 1,645\sigma \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} \sigma_n \end{eqnarray*}$ die Standardabweichung des Mittelwerts einer Stichprobe vom Umfang n ist, soll also gelten:

$\begin{eqnarray*} 1,645\sigma_n=20/2=10 \end{eqnarray*}$

Nun ist

$\begin{eqnarray*} \sigma_n=\sigma/\sqrt{n}=40/\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ die gegebene Standardabweichung der Grundgesamtheit. Wenn du das einsetzt und nach n auflöst, erhältst du die gegebene Lösung.

Jetzt soltest du auch die nächste Aufgabe lösen können.

29.06.2009, 17:09

Womby

Auf diesen Beitrag antworten »

he, danke für deine schnelle antwort.
ich versteh aber nicht, wie du auf die 1,645 kommst? theoretisch kommt man auf diesen wert mit hilfe einer t-Verteilung bei n=64 und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 0,1
in dieser aufgabe ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ja 0,1, das stimmt, aber n ist ja gesucht???
es wäre nett, wenn du mir das kurz noch erklären könntest. - danke

29.06.2009, 17:22

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Die t-Verteilung braucht man nur, wenn man die Standardabweichung aus der Stichprobe schätzen muss. Hier ist die Standardabweichung gegeben. Also kann man mit der Normalverteilung arbeiten.
Und die 1,645 ergibt sich einfach aus der Standardnormalverteilung:

$\begin{eqnarray*} P(-1,645\leq X \leq 1,645)=0,9 \end{eqnarray*}$

29.06.2009, 18:16

Womby

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm... also so richtig verstehe ich diese antwort leider auch nicht. ich hab mir das jetzt einfach so gedacht :
$\begin{eqnarray*} u_{1- \alpha/2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} u_{1-0,1/2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} u_{0,95} \end{eqnarray*}$ =1,645
mit der Wahrscheinlichkeit komm ich da nicht ganz klar. willst du es nochmal versuchen? Ups

und noch mal zu meiner anderen aufgabe:
da hab ich ja $\begin{eqnarray*} \sigma = 50 \end{eqnarray*}$ gegeben, was die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist. außerdem habe ich noch $\begin{eqnarray*} n=25 \end{eqnarray*}$ , die Breite des KI mit 48,2, was ich ja durch 2 teile um es für eine seite zu bekommen:
$\begin{eqnarray*} 48,2/2=24,1 \end{eqnarray*}$
und ich habe noch $\begin{eqnarray*} {\bar x}= 1020,4 \end{eqnarray*}$

ich habe nun $\begin{eqnarray*} \sigma_n=10 \end{eqnarray*}$ berechnet.

und jetzt komm ich nicht weiter???

30.06.2009, 09:04

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Womby
hmm... also so richtig verstehe ich diese antwort leider auch nicht. ich hab mir das jetzt einfach so gedacht :
$\begin{eqnarray*} u_{1- \alpha/2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} u_{1-0,1/2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} u_{0,95} \end{eqnarray*}$ =1,645
mit der Wahrscheinlichkeit komm ich da nicht ganz klar. willst du es nochmal versuchen? Ups

Mir ist ehrlich gesagt, nicht klar, wo es jetzt bei dir hakt. Das Konfidenzniveau von 0,9 ist ja in der Aufgabe vorgegeben. Ist es die Umformung von der Standardormalverteilung $\begin{eqnarray*} \Phi(x) \end{eqnarray*}$ auf deren Umkehrfunktion u(y)? Gesucht ist laut Aufgabe ein x mit

$\begin{eqnarray*} P(-x\leq X \leq x)=0,9 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \Phi(x)-\Phi(-x)=0,9 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=1-\Phi(x) \end{eqnarray*}$ erhält man

$\begin{eqnarray*} 2\Phi(x)-1=0,9 \quad also\quad \Phi(x)=0,95 \quad also \quad x=u(0,95) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Du bist doch praktisch fertig. Aus 24,1 = halbe Breite des Konfidenzintervalls und $\begin{eqnarray*} \sigma_{25}=10 \end{eqnarray*}$ ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 24,1=2,41\sigma_{25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi(2,41)=0,992 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Konfidenzniveau = \Phi(2,41)-\Phi(-2,41)=2\Phi(2,41)-1=0,984 \end{eqnarray*}$

30.06.2009, 17:16

Womby

Auf diesen Beitrag antworten »

ohh mannn... und schon wieder ist mir das peinlich, dass ich das nicht gerafft habe. Ups

aber ja, es war genau das umformen - jetzt ist alles klar. Finger1

ich danke dir wie verrückt!!! Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Konfidenzintervalle - SP-Umfangberechnung

Verwandte Themen