Aufgabe zu charakteristisches Polynom

29.06.2009, 11:12

zacki

Aufgabe zu charakteristisches Polynom

Gegeben sei für den Paramter t Elment IR die Matrix

-1 0 0 4
2 t 5 -2
3 0 2t 2
-2 0 0 5 .

Berechnen Sie das charakteristische Polynom und bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A in abhängikeit des Parameters t.

Vorgehen:

Ich habe zunächst auf der Diagonalen - Lambda geschrieben und dann nach der 2. Spalte entwickelt, wollte erst einmal fragen ob dieses Vorgehen korrekt ist, denn finde die Determinante die dann rauskommt schon sehr groß mit Lambda^6 und solchen Geschichten. Gibt es vielleicht einen Weg die Sache abzukürzen oder muss man konzentriert rechenen um auf diesem Weg zum Ergebniss zu kommen?

Danke und viele Grüße Zacki

29.06.2009, 11:27

tigerbine

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RE: Aufgabe zu charakteristisches Polynom
Schreib deine Rechnungen bitte mal mit latex hin. Die höchste Potenz sollte 4 sein.

29.06.2009, 12:06

zacki

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RE: Aufgabe zu charakteristisches Polynom
Also habe die 2. Spalte gewählt da ja dort 3 Nuller enthalten sind. Für lambda schreibe ich jetzt der einfach halt lieber mal x.

-(t-x) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (-1-x) &0 &4\\ 3 &(2t-x) &2\\ -2 &0 & (5-x)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich den Vorfaktor -(t-x) ind die Matrix rein multipliziert.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (-1-x)(-t+x) &0 &4(-t+x)\\ 3(-t+x) &(2t-x)(-t+x) &2(-t+x)\\ -2(t+x) &0 &(5-x)(-t+x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann die Determinante nach Sauron berechnet.

Da bleib dann übrig $\begin{eqnarray*} (t-x+xt-x^{2})\cdot (-2t^{2}+3tx-x^{2})\cdot (-5t+5x+xt+x^{2})-(-2t-2x)\cdot (-2t^{2}+3tx-x^{2})\cdot (-4t+4x) \end{eqnarray*}$

und das ausgerechnet gibt bei mir:

$\begin{eqnarray*} -2t^{4}-43^{3}x+29t^{2}x^{2}-17tx^{3}+8t^{4}x-28t^{3}x^{2}+46t^{2}x^{3}-20tx^{4}+5x^{4}+6x^{5}-2t^{4}x^{2}+3t^{3}+x^{3}+t^{2}x^{4}-4tx^{5}+tx^{4}-x^{6} \end{eqnarray*}$

so und wie ich da jetzt ein charakteristisches Polynom bestimmen soll weiß ich beim besten willen nicht, aber denke mal das ich auf den Weg irgendwie etwas vereinfachen kann, ist ja auch eine klausur aufgabe und darum denke ich das es mit eins zwei tricks doch deutlich einfacher geht. danke für die Hilfe

29.06.2009, 12:11

tigerbine

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RE: Aufgabe zu charakteristisches Polynom
Also rauskommt in der Var x1

code:
1:	x1^4+(-4-3t)x1^3+(3+2t^2+12t)x1^2+(-8t^2-9t)x1+6*t^2

1. Warum hast du das in die Matrix Multipliziert?

2. Da sollte auch keine Matrix stehen, sondern eine Determinante. Daher geht 1 so nicht.

3. War Sauron nicht aus Herr der Ringe... Ich wurde Sarrus nehmen.

29.06.2009, 12:24

zacki

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ich versthe gerade nicht was Var x1 bedeutet??

Ja dachte wenn ich nach einer Spalte entwickele und da Anstelle (x-t) eine 2 stehen würde dann müsste ich doch dann dieses Determinate mal 2 rechnen und genau so hab ich es nunmal mit (t-x) gemacht. Aber merke gerade das es ja so heißen muss (t-x)det ..., und ja der Typ aus Herr der Ringe hieß Sauron. Sarrus ist hier deutlich logischer.

29.06.2009, 12:29

tigerbine

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Meine Programm nennt den x eben x1. Mehr steckt nicht dahinter.

Also dann rechne nochmal neu.

29.06.2009, 13:01

zacki

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alles klar hab mir eben nochmal klargemacht was genau das charakteristische polynom ist. vielen dank für die Hilfe.

Hätte da aber nochmal eine ander Frage.

Für t=2 sind die Eigenwerte der Matrix 1,2,3, und 4. Ist die Matrix in diesem Fall diagonalähnlich?
Ich hätte jetzt gesagt : Ja ist sie, da alle Eigenwerte unterschiedlich sind und wenn ich es beweisen würde , würde ich über

$\begin{eqnarray*} S \cdot A\cdot S^{-1}=D \end{eqnarray*}$

gehen. Aber wie finde ich S?

29.06.2009, 13:05

tigerbine

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Naja, die EW sind unterschiedlich und die ER von der dim 1. Daher Diagonalähnlich. Da gibt es einen Satz zu. Es muss kein S angegeben werden.

http://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmat...nalisierbarkeit

29.06.2009, 13:18

zacki

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danke für die schnelle hilfe

29.06.2009, 13:34

WebFritzi

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Schreibe die Eigenvektoren in die Matrix $\begin{eqnarray*} S^{-1}. \end{eqnarray*}$ Dann bekommste S.

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Aufgabe zu charakteristisches Polynom

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