Surjektivität der Sinus-Funktion von [-pi/2, pi/2] nach [-1,1] zeigen |
| 29.06.2009, 12:47 | Wintersun | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Surjektivität der Sinus-Funktion von [-pi/2, pi/2] nach [-1,1] zeigen ich soll zeigen, dass f(x) = sin(x) von [- pi/2, pi/2] nach [-1, 1] bijektiv ist. Dafür sollen wir für den Nachweis der Injektivität cos(pi/2) = 0 und für den Nachweis der Surjektivität cos^2 + sin^2 = 1 nutzen. So, hier also erstmal Injektivität: f'(x) = cos(x) und f''(x) = - sin(x) Nullstellen erster Ableitung: 0 = cos(x) => x = pi/2 und x = - pi/2 (unter Ausnutzung des Hinweises von oben und durch Ablesen vom Einheitskreis) f''(pi/2) = - sin(pi/2) = -1 => Hochpunkt f''(- pi/2) = - sin(- pi/2) = 1 => Tiefpunkt Damit ist gezeigt, dass die Funktion im vorgegebenen Intervall streng monoton steigend ist und da aus strenger Monotonie Injektivität folgt, bin ich hiermit fertig. Jetzt Surjektivität: Hier sollte man sin^2 + cos^2 = 1 ausnutzen, ich habe aber keine Idee wie und warum. Ich habe einfach die Intervallgrenzen in die Funktion eingesetzt, also: f(- pi/2) = sin(- pi/2) = -1 und f(pi/2) = sin(pi/2) = 1 Aus der Stetigkeit von f und dem ZWS folgt imho schon die Surjektivität. Ist das so okei? Kann mir jemand sagen, wie ich sin^2 + cos^2 = 1 anwenden soll? |
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| 29.06.2009, 17:12 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich fürchte, niemand kann dir hier wirklich helfen. Das ist eine Aufgabe, deren Lösung ganz davon abhängt, wie Sinus und Cosinus eingeführt wurden und welche Eigenschaften verwendet werden dürfen. Wenn du die Definition am Einheitskreis benutzen darfst, sind die zu beweisenden Eigenschaften trivial. Daher verstehe ich nicht, wieso du mit Ableitungen argumentierst. Das Ganze ist mir nicht geheuer ... |
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| 29.06.2009, 18:15 | Wintersun | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, sin und cos wurden bei uns in der VL durch die Potenzreihen (zusammen mit e und log) eingeführt. Den Einheitskreis hat der Prof immer gerne genommen, um uns Beispiele zu verdeutlichen (zum Beispiel warum sin(pi) und sin(-pi) = 0 ist). Bis jetzt hatten wir Injektivität immer mit strenger Monotonie gezeigt, daher war für mich die Argumentation mit dem Ableitungstest am nahe liegensten. |
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| 29.06.2009, 18:21 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ganz entscheidend ist hier: Wie wurde definiert? Eine gängige Einführung dieser Zahl ist die Charakterisierung von als der kleinsten positiven Nullstelle der Cosinusfunktion. |
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