Ebene schneidet zweite Ebene senkrecht

29.06.2009, 16:04

lorenz1980

Ebene schneidet zweite Ebene senkrecht

Hi,

gegeben sei die Ebenengleichung
$\begin{eqnarray*} E:\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
sowie der Punkt
$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gesucht ist die Ebene $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ , die die Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ senkrecht schneidet und den Punkt $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ enthält.

Reicht es, wenn ich denselben Stützpunkt und den Normalenvektor der ersten Ebene berechne und den fehlenden Vektor berechne wie folgt:
$\begin{eqnarray*} E_1:\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 25 \\ -11 \\ -19 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}<br /> <br /> \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 25 \\ -11 \\ -19 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Mit r=s=1 führt dies zu
$\begin{eqnarray*} E_1:\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 25 \\ -11 \\ -19 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -12 \\ 5\\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.06.2009, 16:16

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Zitat:

Original von lorenz1980
Gesucht ist die Ebene $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ , die die Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ senkrecht schneidet und den Punkt $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ enthält.

"Die Ebene" ist eine falsche Wortwahl: Es gibt unendlich viele Ebenen mit dieser Eigenschaft.

29.06.2009, 17:43

lorenz1980

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

"Die Ebene" ist eine falsche Wortwahl: Es gibt unendlich viele Ebenen mit dieser Eigenschaft.

Dann sei EINE Ebene gesucht, ...
Und was geht nun die vermeintliche Lösung an?

29.06.2009, 18:15

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Zitat:

Original von lorenz1980
Mit r=s=1 führt dies zu
$\begin{eqnarray*} E_1:\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 25 \\ -11 \\ -19 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -12 \\ 5\\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich kann leider überhaupt nicht nachvollziehen, was du hier gemacht hast. unglücklich

Aber du musst ja die Parameterwerte $\begin{eqnarray*} r,s \end{eqnarray*}$ benennen können, die für den Punkt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zutreffen - der soll ja schließlich in dieser Ebene liegen!

--------------------

Mein Alternativvorschlag: Mit dem auch schon von dir berechneten Normalenvektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 \\ -11 \\ -19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ kann man die Gleichung einer Geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auftstellen, die senkrecht zu $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ sowie durch Punkt $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ verläuft - diese Gerade ist noch eindeutig:

$\begin{eqnarray*} g: \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 25 \\ -11 \\ -19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt erfüllt jede beliebige Ebene $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ enthält, die Bedingung der Aufgabe, also

$\begin{eqnarray*} E_1(\vec{n}): \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 25 \\ -11 \\ -19 \end{pmatrix} + s \vec{n} \end{eqnarray*}$

mit irgendeinem vorgegebenen Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ , von dem nur gefordert wird, dass er nicht kolinear zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 25 \\ -11 \\ -19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

29.06.2009, 18:25

Leopold

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Ich habe den Verdacht, daß lorenz1980 wichtige Informationen unterschlagen hat, die zu einer eindeutigen Lösung der Aufgabe führen.
Sind das wirklich alle Angaben? Steht die Aufgabe vielleicht in einem größeren Kontext, der weitere Rahmenbedingungen enthält?

30.06.2009, 20:10

lorenz1980

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Zitat:

Original von Leopold
Ich habe den Verdacht, daß lorenz1980 wichtige Informationen unterschlagen hat, die zu einer eindeutigen Lösung der Aufgabe führen.
Sind das wirklich alle Angaben? Steht die Aufgabe vielleicht in einem größeren Kontext, der weitere Rahmenbedingungen enthält?

Gegeben sind die Eckpunkte eines Dreiecks ABC durch ihre kartesischen Koordinaten
A ( 0 / 3 / 1) B ( 1 / 7 / 0) C ( 4 / 0 / 8)
a) Geben Sie die das Dreieck enthaltende Ebene E an, und zwar in
parametrischer und in parameterfreier Darstellung.
b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC .
Bestimmen Sie den Innenwinkel bei C.
c) Wählen Sie die dritte Koordinate z des Punktes D( 1 / 2 / z) so, dass D nicht zu E
gehört und berechnen Sie das Volumen des durch die Eckpunkte A,B,C,D,...
definierten Spats (Parallelepipeds).
d) Geben Sie die Gleichung einer Ebene E1 an, die die Ebene E senkrecht schneidet und
den Punkt D enthält.

Ich hatte nur die Lösung(en), die ich zuvor bestimmt hatte, schon in eine "finale" Aufgabe übertragen... Und ich denke, es war alles relevante drin...

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