Lagrange Multiplikatoren (Extrema unter Nebenbedingungen)

29.06.2009, 16:20

stereo

Lagrange Multiplikatoren (Extrema unter Nebenbedingungen)

Hallo, und zwar habe ich eine Frage zu der Funktion die man sich definiert. Zunächst einmal die Aufgabestellung:

Begründen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = x+y+z \end{eqnarray*}$ azf der Kugel

$\begin{eqnarray*} K = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : x^2+y^2+z^2=1\} \end{eqnarray*}$

ihre globalen Extrema annimmt, und berechnen Sie diese.

Mein Ansatz:

Hauptbedingung: $\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = x+y+z \end{eqnarray*}$
Nebenbedinung: $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2 - 1=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt definier ich mir ja eine Funktion wie folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z,\lambda) = x+y+z+\underbrace{\lambda(x,y,z)}_{=0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla f = \begin{pmatrix} 1+2x\lambda' \\ 1+2y\lambda' \\ 1+2z\lambda' \\ \lambda' \end{pmatrix} =^! 0 \end{eqnarray*}$

So das wäre jetzt meine Vermutung, ich weiß was rauskommen muss - da wir mal in einem Tutorium ein ähnliches Beispiel hatten. Kann mir jemand bitter erklären wo mein Fehler mit der definierten Funktion liegt?

Also richtig würde es heißen:

$\begin{eqnarray*} \nabla f = \begin{pmatrix} 1+2x\lambda \\ 1+2y\lambda \\ 1+2z\lambda \\ x^2+y^2+z^2-1 \end{pmatrix} =^! 0 \end{eqnarray*}$

Danke schonmal für eure Hilfe

29.06.2009, 16:42

Huggy

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RE: Lagrange Multiplikatoren (Extrema unter Nebenbedingungen)
Die 4. Ableitung ist die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und da bleibt dann einfach die Nebenbedingung stehen.

29.06.2009, 16:50

stereo

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Was genau ist denn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

Ich hab das so verstanden,

$\begin{eqnarray*} \lambda: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \lambda(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1 =^! 0 \end{eqnarray*}$

Wie leite ich denn dann soetwas ab:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \partial f(x,y,z, \lambda) }{ \partial \lambda } = \frac{ \partial }{ \partial \lambda } (x+y+z+\lambda) = 1 \end{eqnarray*}$

Wie du merkst, irgendwas habe ich noch nicht richtig verstanden. Ich hoffe du weißt jetzt was ich genau meine.

29.06.2009, 17:00

Huggy

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Da hast du etwas falsch verstanden. $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist eine künstlich eingeführte zusätzliche Variable, eben der Lagrange'sche Multiplikator. Statt die lokalen Extrema einer Funktion f(x, y, z) unter der Nebenbedingung g(x, y, z) = 0 zu bestimmen, bestimmt man die lokalen Extrema der Funktion

$\begin{eqnarray*} h(x, y, z, \lambda)=f(x, y, z)+\lambda g(x, y, z) \end{eqnarray*}$

Dazu leitet man h nach x, y, z und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ab und setzt die Ableitungen gleich 0. Die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ reproduziert dabei offensichtlich die Nebenbedingung.

29.06.2009, 17:02

stereo

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Super ich danke dir, du hast es auf den Punkt gebracht, wo mein Problem lag.

Ich rechne mal weiter und schreibe dann gleich meine Lösung.

29.06.2009, 17:54

stereo

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RE: Lagrange Multiplikatoren (Extrema unter Nebenbedingungen)
$\begin{eqnarray*} \nabla f = \begin{pmatrix} 1+2x\lambda \\ 1+2y\lambda \\ 1+2z\lambda \\ x^2+y^2+z^2-1 \end{pmatrix} =^! 0 \end{eqnarray*}$

Also Fallunterscheidung:

1: Fall: $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \Rightarrow 1=0 \text{ falsche Aussage} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt es gibt keine Lösung für Fall 1.

2. Fall: $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \Rightarrow x=y=z \end{eqnarray*}$

Das in die NB eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} x^2+x^2+x^2=1 \Longleftrightarrow x=\pm \frac 1 {\sqrt 3} \end{eqnarray*}$

Somit gibt es 2 Extrempunkte:

$\begin{eqnarray*} P_1 = \left(\frac 1 {\sqrt 3},\frac 1 {\sqrt 3},\frac 1 {\sqrt 3}\right) \quad \text{und} \quad P_2 = \left(-\frac 1 {\sqrt 3},-\frac 1 {\sqrt 3},-\frac 1 {\sqrt 3}\right) \end{eqnarray*}$

Also P_1 ist Maxima und P_2 ist Minimum, das sieht man wenn man sich die Funktion anschaut.

Randpunkte überprüfen:

$\begin{eqnarray*} f(1,0,0) = f(0,1,0) = f(0,0,1) = 1 < \sqrt 3 \end{eqnarray*}$

Also befinden sich an den Randpunkten keine Extrema.

Jetzt bin ich ja eigentlich fertig, aber ich habe die Hesse-Matrix noch gebildet:

$\begin{eqnarray*} \nabla^2 f = \begin{pmatrix} 2\lambda & 0 & 0 & 2x \\ 0 & 2\lambda & 0 & 2y \\ 0 & 0 & 2\lambda & 2z \\ 2x & 2y & 2z & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \det (\nabla^2 f) = -16 \lambda^2 x^2 - 16 \lambda^2 y^2 - 16 \lambda^2 z^2 \end{eqnarray*}$

So hier weiß ich grad nichtmehr sicher weiter. Die Determinante ist ja immer kleiner 0. Also ist die Hessematrix negativ definit.

Stimmt das denn soweit?

30.06.2009, 08:22

Huggy

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RE: Lagrange Multiplikatoren (Extrema unter Nebenbedingungen)
Die Extrema sind richtig bestimmt. Aber danach siehst du schon wieder etwas falsch. Die Methode der Lagrange'schen Multiplikatoren liefert (leider) nur die notwendigen Bedingungen für lokale Extrema unter Nebenbedingungen. Die Nullstellen der Ableitungen von h ergeben die notwendigen Bedingungen für lokale Extrema von f unter der Nebenbedingung g. Aber die Hessematrix von h liefert keine Informationen darüber, ob die gefundenen Stellem wirklich lokale Extrema sind. Das ist ein Unterschied zu der Bestimmung von lokalen Extrema ohne Nebenbedingungen.

Man muss bei der Methode der L-Multiplikatoren also auf andere Weise sicherstellen, dass wirklich lokale Extrema vorliegen. Dein Versuch, das über die Berechnung von f an Randpunkten zu machen, ist, ich will mal sagen, bäh. Denn die Nebenbedingung g beschreibt die Oberfläche einer Kugel und diese Oberfläche hat überhaupt keinen Rand. Wie kommst du darauf, dass z. B. (1, 0, 0) ein Randpunkt der Kugeloberfläche sei?

Aus der Nebenbedingung g folgt $\begin{eqnarray*} |x|,|y|, |z| \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Also ist f auf der Kugeloberfläche beschränkt und stetig ist f eh. Daher hat f auf der Kugeloberfläche ein Maximum und ein Minimum. Und da die Kugeloberfläche keinen Rand hat, können diese Extrema auch nicht auf dem Rand liegen, sind also lokale Extrema. Da es nur zwei potentielle Stellen für lokale Extrema gibt und da, wie eben gezeigt, mindestens zwei lokale Extrema vorliegen müssen, sind diese gefunden.

30.06.2009, 15:32

stereo

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Vielen Dank, ich hatte die etwas eigenartige Annahme dass es sich um eine Halbkugel handelt, aber selbst dann wären die Punkte falsch gewesen. Ich war da zu voreilig.

Ich hab mal noch eine andere Frage. Die Funktion f ist gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wie kann ich mir diese Funktion jetzt auf der Einheitskugel vorstellen? Weil ich gerade den Gedanken hatte, dass wenn die Funktion f jetzt eine Parabel beschreiben würde
(zweidimensional $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ).

Dann würde die Funktion f ja stetig sein und ebenso beschränkt. Aber die Funktion h wären dann doch nur 2 Punkte auf dem Einheitskreis.
Falls du mein Problem noch nicht siehst, ich fasse die Nebenbedingung grad so auf: der Durchschnitt von der Funktion f und der Nebenbedingung g.

30.06.2009, 16:23

Huggy

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Zitat:

Original von stereo
der Durchschnitt von der Funktion f und der Nebenbedingung g.

Das ist eine etwas schräge Formulierung, aber ich denke, du meinst das Richtige.
Ich würde es so ausdrücken: Sei D der Definitionsbereich von f und G die durch g = 0 definierte Punktmenge. Dann betrachte f nur auf dem eingeschränkten Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D\cap G \end{eqnarray*}$ .

Wenn du nun eine Funktion f betrachtest, deren Definitionsbereich D lediglich die x-Achse ist, dann besteht der durch g = 0 eingeschränkte Definitionsbereich tatsächlich nur aus 2 Punkten.

01.07.2009, 11:17

eierkopf1

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RE: Lagrange Multiplikatoren (Extrema unter Nebenbedingungen)
$\begin{eqnarray*} P_1 = \left(\frac 1 {\sqrt 3},\frac 1 {\sqrt 3},\frac 1 {\sqrt 3}\right) \quad \text{und} \quad P_2 = \left(-\frac 1 {\sqrt 3},-\frac 1 {\sqrt 3},-\frac 1 {\sqrt 3}\right) \end{eqnarray*}$

Wie kann man "rechnerisch" zeigen, dass die beiden stationären Punkte Extrema sind?

01.07.2009, 11:29

Huggy

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RE: Lagrange Multiplikatoren (Extrema unter Nebenbedingungen)
Man muss ja bei diesem Beispiel nicht über die Methode der L-Multiplikatoren gehen. Man kann ja auch die Nebenbedingung nach z. B. z auflösen und in f einsetzen. Bei dem 'neuen' f sind lokale Extrema ohne Nebenbedingungen gesucht und da kann man schauen, ob die Hessematrix ein hinreichendes Kriterium liefert.

01.07.2009, 11:32

eierkopf1

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RE: Lagrange Multiplikatoren (Extrema unter Nebenbedingungen)
Diese Methode kenn ich.

Ich dachte nur, da gäbe es noch andere Tricks.

01.07.2009, 11:41

Huggy

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RE: Lagrange Multiplikatoren (Extrema unter Nebenbedingungen)
Mag sein. Aber mir ist kein allgemeines rechnerisches Verfahren für eine hinreichende Bedingung bei der Methode der L-Multiplikatoren bekannt. Vielleicht kann sonst jemand da noch etwas beitragen.

01.07.2009, 17:42

WebFritzi

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@Eierkopf: Ich verstehe nicht, was du willst. Was verstehst du unter "rechnerisch". Nach dem Satz "Steige Funktionen auf Kompakta nehmen ihr Maximum und Minimum an." (der hier wichtig ist!) nimmt f auf K sein Max und Min an. Die Lagrange-Mathode liefert eine notwendige Bedingung für Extrema. Erschließen sich daraus zwei Punkte, dann muss man nur noch testen, welches von beiden ein Max und welches ein Min ist.

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