Urbild des Bildes eines Vektors

29.06.2009, 15:15	Baii	Auf diesen Beitrag antworten »
Urbild des Bildes eines Vektors Hallo, l: V -> W linear, z.z. $\begin{eqnarray} l^{-1}(l(v)) = v + Kern l, v \in V \end{eqnarray}$ mir ist klar, dass das so sein muss. aber wie so oft habe ich Probleme, einen Beweis dafür zu formulieren. l.g. Baii
29.06.2009, 16:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir $\begin{eqnarray} \supseteq \end{eqnarray}$ : Sei $\begin{eqnarray} x \in v + l^{-1}(0) \end{eqnarray}$ , etwa $\begin{eqnarray} x = v + u \end{eqnarray}$ . Dann folgt: $\begin{eqnarray} l(x) = l(v + u) = l(v) + l(u) = l(v) \end{eqnarray}$ . Damit wird $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ auf das Element $\begin{eqnarray} l(v) \end{eqnarray}$ abgebildet, liegt also in dessen Urbild: $\begin{eqnarray} x \in l^{-1} \left( l(v) \right) \end{eqnarray}$ .
29.06.2009, 20:26	Baii	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, danke, war ja doch ganz einfach aber wie sieht's mit $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ aus? komm da irgendwie nicht weiter, haben als Tipp bekommen, dass man $\begin{eqnarray} l^{-1}(l(v))=l^{-1}(l(v)+0) \end{eqnarray}$ schreiben kann.
30.06.2009, 00:57	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} x\in l^{-1}(l(v)). \end{eqnarray}$ Was bedeutet das?
30.06.2009, 07:51	Baii	Auf diesen Beitrag antworten »
das bedeutet doch, dass $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ im Urbild von $\begin{eqnarray} l(v) \end{eqnarray}$ liegt
30.06.2009, 12:28	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Und was bedeutet das wiederum?
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30.06.2009, 18:46	Baii	Auf diesen Beitrag antworten »
aah, ich glaub ich habs: sei $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l^{-1} (l(v)) \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} l(x)=l(v) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l(x-v)=0 \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} x-v \in Kernl \end{eqnarray}$ sei nun $\begin{eqnarray} u=x-v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=v+u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \in v+Kernl \end{eqnarray}$
30.06.2009, 23:47	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so!

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