Zeige, dass die Hilbert-Schmidt-Norm eine Norm ist

29.06.2009, 19:54	Jens K	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass die Hilbert-Schmidt-Norm eine Norm ist Hallo, ich muss zeigen, dass die Hilbert-Schmidt-Norm eine Norm ist. Komme, aber bei dem dritten Punkt, der Dreiecksungleichung, nicht weiter. Zunächst zur Definition, die sah so aus $\begin{eqnarray} \|\| A \|\|_{HS} := \left(\sum_{k=1}^n~\sum_{l=1}^m~{\| A_{kl} \|^2} \right) ^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Für zwei Matrixen $\begin{eqnarray} \|\| A + B \|\|_{HS} \end{eqnarray}$ hab ich das ganze zunächst in die Definition eingesetzt, über die Dreiecksungleichung des Betrags nach oben abgeschätzt, dann bei dem Quadrat die binomische Formel angewandt und schließlich den mittleren Teil $\begin{eqnarray} 2 \| A \|_{HS} * \| B \|_{HS} \end{eqnarray}$ weggelassen, da positiv. (Natürlich alles mit einem kleiner-gleich). Nun steht da $\begin{eqnarray} \left(\sum_{k=1}^n~\sum_{l=1}^m~{\| A_{kl} \|^2}+ \sum_{k=1}^n~\sum_{l=1}^m~{\| B_{kl} \|^2}\right)^{1/2} \end{eqnarray*}$ Aber wegen der Wurzel kann man das ja nicht einfach auseinanderziehen. Ich habe keine Idee mehr wie man weiterrechnen soll, damit es am Ende stimmt. Was kann man da tun? Viele Grüße
29.06.2009, 20:01	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde folgendes versuchen: Es gibt eine Bijektion $\begin{eqnarray} b: \mathbb{N}\to\mathbb{N}^2 \end{eqnarray}$ Dann ist lässt sich deine Matrix gewissermaßen auf eine Folge reduzieren. Dann ist also gerade $\begin{eqnarray} \\| A\\|_{HS} = \left( \sum_{n\in\mathbb{N}} \|A_{b(n)}\|^2 \right)^{1/2} \end{eqnarray}$ Der Rest sollte daraus folgen, dass die 2-Norm eben bekanntermaßen eine Norm auf $\begin{eqnarray} l^2(\mathbb{N}) \end{eqnarray}$ ist.
30.06.2009, 00:35	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt hier mehrere Möglichkeiten. Zunächst gibt es da die Methode von Sly, die du noch etwas abändern solltest, denn eine Matrix hat natürlich nur endlich viele Einträge. Dann gibt es weiterhin die Möglichkeit zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \langle A,B\rangle_{\rm HS} := \sum_{k,l}\,A_{kl}\overline{B_{kl}} \end{eqnarray}$ ein (positiv definites) Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} \mathbb C^{n\times m} \end{eqnarray}$ definiert. Die angegebene Norm stammt dann von diesem Skalarprodukt. Dazu musst du natürlich schon wissen, dass ein (positiv definites) Skalarprodukt eine Norm induziert (oder du musst dies zeigen, was hier IMHO ein zu großer Aufwand wäre). Eine weitere Möglichkeit ist das direkte Abschätzen. Dazu brauchst du aber noch die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für Summen: $\begin{eqnarray} \sum_k\,\|s_kt_k\|\,\le\,\left(\sum_k\,\|s_k\|^2\right)^{\frac 1 2}\;\left(\sum_k\,\|t_k\|^2\right)^{\frac 1 2}. \end{eqnarray}$ Auf deinem Weg hast du den Fehler gemacht, den "mittleren Teil" (den du hier auch noch falsch angibst) wegzulassen, denn du willst nach oben abschätzen und nicht nach unten. Anm.: Ich habe das "positiv definit" in Klammern gesetzt, weil für mich ein Skalarprodukt bereits positiv definit ist. Das ist aber nicht für jeden so.
30.06.2009, 07:17	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh Verzeihung, das "n" und das "m" über der Summe habe ich glatt übergangen...zuerst dachte ich, es sei von unendlichen Matrizen die Rede, sry

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