Sind orthogonale Matrizen reell diagonalisierbar?

29.06.2009, 23:25

smiiile

Sind orthogonale Matrizen reell diagonalisierbar?

Hallo,
ich möchte folgende Aussage auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen.

Orthogonale Matrizen sind reell diagonalisierbar.

Ich habe in Wikipedia gelesen, dass eine orthogonale Matrix normal ist und damit über den komplexen Zahlen diagonalisierbar.

da bedeutet ja, dass in der Diagonalen auch komplexe Elemente stehen. Damit müsste die Matrix ja nicht unbedingt reell diagonalisierbar sein.

Daraus würde ja folgen, dass die Aussage falsch ist. Stimmt das?

Ich weiß aber nicht, warum eine orthogonale Matrix normal ist. Für eine orthogonale Matrix gilt ja $\begin{eqnarray*} A^{-1} = A^{T} \end{eqnarray*}$
Für eine normale Matrix gilt: $\begin{eqnarray*} A^{T} A = A A^{T} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich nun zeigen, dass eine orthogonale Matrix auch normal ist?
Es würde sich ja $\begin{eqnarray*} A^{-1} A = A A^{-1} \end{eqnarray*}$ ergeben, wenn ich das einsetze.
Daraus folgt E=E.
Ist das schon ein Beweis dafür?

Ich versuche gerade auch noch ein Gegenbeispiel zu finden, um die Aussage zu widerlegen, komme aber auf keines. Kann mir da jemand helfen? Also eine orthogonale Matrix, die nicht reell diagonalisierbar ist?

Vielen Dank schon im Voraus.
Grüße
smiiile

29.06.2009, 23:43

tigerbine

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RE: Sind orthogonale Matrizen reell diagonalisierbar?

Zitat:

Daraus würde ja folgen, dass die Aussage falsch ist. Stimmt das?

Nein, denn reelle Zahlen sind auch komplexe Zahlen. So kannst du nicht argumentieren.

Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

A hat die komplexen EW +/- i

http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix

30.06.2009, 00:30

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Daraus würde ja folgen, dass die Aussage falsch ist. Stimmt das?

Nein, denn reelle Zahlen sind auch komplexe Zahlen. So kannst du nicht argumentieren.

Die Überlegung ist schon sinnvoll, wenn auch kein stichhaltiges Gegenbeispiel da ist. Aber dass eine komplex-diagonalisierbare Matrix nicht unbedingt reell-diagonalisierbar sein muss, ist korrekt. Das von tigerbine angegebene Beispiel ist z.B. ein Beispiel einer orthogonalen Matrix, die nicht reell diagonalisierbar ist.

30.06.2009, 02:52

WebFritzi

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Eine orthogonale Matrix, die reell diagonalisierbar ist, hat nur die Eigenwerte 1 und -1 und hat somit die Form 2P - I mit einer Orthogonalprojektion P (die auf den Eigenraum bzgl. des EW'es 1 projiziert). Eine solche Matrix ist sehr langweilig. Augenzwinkern

Alle orthogonalen Matrizen sind auch unitär und daher (komplex) diagonalisierbar. Die Eigenwerte treten in komplex konjugierten Paaren auf und liegen allesamt auf dem Einheitskreis. Das charakteristische Polynom einer orthogonalen Matrix hat stets die Form

$\begin{eqnarray*} \chi(x) = \prod_{j=1}^k\,(x^2 - 2\cos\theta_j + 1)\,\cdot\,(1 - x)^l\cdot(1 + x)^m \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \theta_j\in (0,\pi). \end{eqnarray*}$

30.06.2009, 18:08

smiiile

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Hallo.
Erst einmal ein ganz großes Dankeschön für so viele Antworten smile

Ich habe das Gegenbeispiel jetzt einmal nachgerechnet.

Also

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat als charakteristisches Polynom

$\begin{eqnarray*} \chi (A) = \lambda ^{2}+1 = (\lambda -i)(\lambda +i) \end{eqnarray*}$

und damit die komplexen Eigenwerte +i und -i.
Komplexe Eigenwerte treten ja immer in Paaren auf.

Damit sieht A diagonalisiert so aus:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder auch so:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da ich die gefundenen Eigenwerte ja auf die Diagonale schreiben kann.

Damit stehen auf der Diagonalen keine reellen Zahlen sondern komplexe und es folgt
Die orthogonale Matrix A ist nicht reell diagonalisierbar.

Stimmt so, oder?
Grüße
smiiile

30.06.2009, 20:31

WebFritzi

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Das einzige, was in deinem Beitrag falsch ist, ist das hier:

Zitat:

Original von smiiile
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder auch so:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

30.06.2009, 22:14

smiiile

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hmm...
meinst du damit, dass

$\begin{eqnarray*} D_1=\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0& -i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht gleich $\begin{eqnarray*} D_2=\begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 &i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist, oder? Dann sollte ich sie natürlich nicht beide A nennen.
Ich habe sie jetzt einmal $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_2 \end{eqnarray*}$ genannt, weil es ja die Diagonalmatrizen sind.

Aber sobald ich die Eigenwerte habe, kann ich diese doch auf die Diagonale schreiben, oder? Es hängt eben nur davon ab, ob ich $\begin{eqnarray*} \lambda_1=i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2=-i \end{eqnarray*}$ nenne, das würde der Matrix $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ entsprechen oder eben umgekehrt, was der Matrix $\begin{eqnarray*} D_2 \end{eqnarray*}$ entprechen würde.

01.07.2009, 01:49

WebFritzi

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Richtig.

01.07.2009, 21:50

smiiile

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super

Dann hab ichs verstanden.
Vielen Dank für die Hilfe

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