Untergruppen der Kleinschen Vierergruppe

30.06.2009, 09:19	C.Pistorius	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen der Kleinschen Vierergruppe Hallo Ihr, ich habe in einer Aufgabe der Körpertheorie gezeigt, dass die Galoisgruppe der Körpererweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{7})\|\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ isomorph zur kleinschen Vierergruppe ist. Nun soll ich alle Zwischenkörper der Körpererweiterung angeben und mittels Galoiskorrespondenz auch alle Untergruppen der $\begin{eqnarray} V_{4} \end{eqnarray}$ angeben. Ich vermute aufgrund des Aussehens der Körpererweiterung, dass es genau zwei Zwischenkörper gibt, nämlich $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{7}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{5}) \end{eqnarray}$ ... aber kann mir jemand mit den Untergruppen der Kleinschen Vierergruppe helfen? So wie ich das sehe, hat sie doch genau drei Untergruppen, nämlich jeweils die Identität mit einem Zykel, der ja selbstinvers ist. Wo habe ich also dann meine dritte Körpererweiterung? Liebe Grüße, cC.
30.06.2009, 09:33	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe nicht ganz dein Problem. Du hast doch schon alles nötige gezeigt?! Eine Korrespondenz sieht nach deinen Berechnungen ja dann etwa so aus $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{7}) \leftrightarrow 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{5}) \leftrightarrow \{ (0,0), (1,0)\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\sqrt{7}) \leftrightarrow \{ (0,0), (0,1)\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \leftrightarrow \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ /edit: ja klar, die $\begin{eqnarray} \sqrt{35} \end{eqnarray}$ fehlt da noch zu $\begin{eqnarray} \{(0,0),(1,1)\} \end{eqnarray}$ . Meine Güte, ich bin in Algebra eingerostet...
30.06.2009, 09:59	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt{35}) \end{eqnarray}$ habt ihr imo vergessen.
30.06.2009, 13:49	C.Pistorius	Auf diesen Beitrag antworten »
damit ist alles klar, danke =)

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