Betrag komplexe Zahl

30.06.2009, 09:26

Wursty

Betrag komplexe Zahl

Hallo.

Ich möchte gerne wissen, wie man den Betrag hier berechnet
$\begin{eqnarray*} |e^{i*t}| \end{eqnarray*}$

Gilt hierbei $\begin{eqnarray*} |e^{i*t}| = e^{|i*t|} =e^{t} \end{eqnarray*}$ ?

Ansonsten wäre meine Idee noch

$\begin{eqnarray*} e^{it} = sin(t)+i cos(t) \end{eqnarray*}$ und davon den Betrag zu nehmen,
aber was ist dann, wenn ich den Betrag von

$\begin{eqnarray*} e^{it+10} \end{eqnarray*}$

berechnen will? Da komme ich mit sin + i cos nicht mehr weiter. Leider

Grüße
Wursty

30.06.2009, 10:06

tigerbine

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RE: Betrag komplexe Zahl
Mach dir etwas mit der Darstellung in Polarkoordinaten vertraut, dann ist es ganz einfach.

http://de.wikipedia.org/wiki/ Polarkoord...rdinat<br /> en

30.06.2009, 10:48

Wursty

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Wie ich gelesen habe, hatte ich bei meinem Ansatz

$\begin{eqnarray*} e^{it} = cos(t) + isin(t) \end{eqnarray*}$

das Sinus und Cosinus vertauscht

Aber trotzdem verstehe ich immernoch nicht, wie ich auf den Betrag von

$\begin{eqnarray*} |e^{it+10}| \end{eqnarray*}$

komme.

30.06.2009, 10:51

tigerbine

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Dann hast du meinen Link nicht gelesen. Denn was steht denn vor dem e....

30.06.2009, 11:15

Wursty

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Bis jetzt steht da noch gar nichts, aber wenn ich es so schreibe

$\begin{eqnarray*} |e^{it+10}|= |e^{10}e^{it}| \end{eqnarray*}$

Und dann

$\begin{eqnarray*} |e^{10}e^{it}| = e^{10} (cos t - isin t ) \end{eqnarray*}$

Meinst du das so?

30.06.2009, 11:16

tigerbine

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Nein, meine ich nicht. Wenn da nichts davor steht... Dann steht da eine 1. Gehen wir also zur allerersten Frage zurück.

$\begin{eqnarray*} \exp(i \cdot t) = 1 \cdot \exp(i \cdot t) \end{eqnarray*}$

Das dreht doch munter auf dem Einheitskreis.

30.06.2009, 13:04

Wursty

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meinst du dann, dass das Ergebnis trivial ist, weil man sich auf dem Einheitskreis bewegt?

Dann wäre immer $\begin{eqnarray*} |e^{i at}| = a \end{eqnarray*}$

Richtig?

Soll ich $\begin{eqnarray*} |e^{i*t}| = e^{|i*t|} \end{eqnarray*}$ noch mal im Analysisforum posten, in deinem Artikel steht dazu ja nichts?

Weil $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^t = e^{\lim_{t \to \infty} t} \end{eqnarray*}$

gilt ja auch wegen Stetigkeit

30.06.2009, 13:10

tigerbine

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Zitat:

Dann wäre immer $\begin{eqnarray*} |e^{i at}| = a \end{eqnarray*}$

Nein, der Betrag ist auch da immer 1. at ist eben der Drehwinkel.

Zitat:

Weil $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} e^t = e^{\lim_{t \to \infty} t} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe hier kein Wort. Der Grenzwert existiert nicht, weil man sich eben dreht und dreht und dreht.... aber immer noch auf dem Einheitskreis.

30.06.2009, 13:27

outSchool

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@Wursty zur Info

$\begin{eqnarray*} |z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = r\cdot e^{i\varphi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{z} = r\cdot e^{-i\varphi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |z| = r \cdot \sqrt{e^{i\varphi}\cdot e^{-i\varphi}} = r \cdot \sqrt{e^{i\varphi-i\varphi}} = r \end{eqnarray*}$

Für r = 1 folgt dann:

$\begin{eqnarray*} |z| = 1 \end{eqnarray*}$

und für r = $\begin{eqnarray*} e^t \end{eqnarray*}$ fogt ?

30.06.2009, 15:17

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \left|e^{it+10}\right| = \left|e^{10}\cdot e^{it}\right| = e^{10}\cdot\left|e^{it}\right| = e^{10}. \end{eqnarray*}$

30.06.2009, 18:25

Wursty

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Ah, jetzt habe ich es endlich verstanden, danke. Freude

30.06.2009, 19:40

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Hallo,
kleine Formel die man nie vergessen sollte:
$\begin{eqnarray*} |e^z| = e^{Re(z)} \end{eqnarray*}$ (lässt sich ganz einfach über die eulersche Identität zeigen).

Diese Gleichung verwendet man sehr oft wenn man irgendwo mal |e^z| stehen hat.

Lässt sich natürlich auch auf dein Beispiel anwenden:
|e^(it+10)| = e^Re(it+10) = e^10

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