Zeigen das folge monoton wachsend ist + anschauliche Bedeutung

30.06.2009, 10:54

lustigerlurch

Zeigen das folge monoton wachsend ist + anschauliche Bedeutung

Hallo,
ich weiß nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss und hoffe auf Hilfe:

Sei p>0. Betrachten Sie die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_n=0,1,2,3,... \end{eqnarray*}$ mit
a_n:=(1+p/2^n)^2^n . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (a_n)_n=0,1,2,3,... \end{eqnarray*}$ monoton wachsend ist. Was bedeutet dies anschaulich, wenn p=0,04 der jährliche risikolose Zinssatz ist?

30.06.2009, 11:06

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Das ist eine Teilfolge von (1 + p/n)^n:

$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = \left( \left(1 + \frac{p}{n}\right)^n \right)_{n = 1, 2, 4, 8, \ldots} \end{eqnarray*}$

Man kann die Monotonie auch ganz normal nachweisen:

Zu zeigen ist

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_n \end{eqnarray*}$

für alle

$\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

30.06.2009, 11:17

lustigerlurch

Auf diesen Beitrag antworten »

wie beweise ich das?
Durch Induktion?

30.06.2009, 11:34

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber ich würde mich an der "Oberfolge" orientieren, weil die ja einfacher ist.

Vielleicht kannst Du auch eine vorher besprochene Ungleichung/Folge benutzen und musst nur noch umformen?

30.06.2009, 12:39

Mathe_2010?

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, ich klinke mich mal ein - auch auf die Gefahr, mich als Anfänger zu offenbaren Big Laugh

Ich habe einfach die Folge als Funktion betrachtet, $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ also als Element der reellen Zahlen erweitert, und anschließend die 1. Ableitung gebildet, um zu schauen ab wann die Funktion nur noch steigt.

So komme ich nun auf:

$\begin{eqnarray*} f'(n)=ln(1+\frac{p}{n})- \frac{p}{n+p} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} f'(n) \geq 0 \end{eqnarray*}$ sein soll, erhalte ich letztendlich:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{p}{n} \geq e^{\frac{p}{n+p}} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass ich es mir durch den Schritt mit der Ableitung etc. wahrscheinlich unnötig kompliziert gemacht habe, aber was solls...

Ich würde mich über Tipps zur Lösung der letzten Ungleichung freuen smile

30.06.2009, 13:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathe_2010?
So komme ich nun auf:

$\begin{eqnarray*} f'(n)=ln(1+\frac{p}{n})- \frac{p}{n+p} \end{eqnarray*}$

Kannst du das mal vorrechnen?

30.06.2009, 13:08

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist vielleicht besser, zur ursprünglichen Folge

$\begin{eqnarray*} a_n = \left( 1 + \frac{p}{2^n} \right)^{2^n} \end{eqnarray*}$

zurückzukehren. Der Nachweis von deren Monotonie gestaltet sich viel einfacher - schlicht und einfach binomische Formel anwenden:

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{p}{2^{n+1}} \right)^{2^{n+1}} = \left( \left( 1 + \frac{p}{2^{n+1}} \right)^2 \right)^{2^n} = \left( 1 + 2\cdot \frac{p}{2^{n+1}} + \left( \frac{p}{2^{n+1}} \right)^2 \right)^{2^n} = \left( 1 + \frac{p}{2^n} + \left( \frac{p}{2^{n+1}} \right)^2 \right)^{2^n} \geq \ldots \end{eqnarray*}$

30.06.2009, 13:36

Mathe_2010?

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht sollte ich damit aufhören, solche Rechnungen auf Schmierzetteln zu betreiben Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f(n)=(1+\frac{p}{n})^n=e^{ln(1+\frac{p}{n}) \cdot n} \end{eqnarray*}$

Im Eifer des mathematischen Gefechts habe ich lediglich die innere Ableitung:

$\begin{eqnarray*} (ln(1+\frac{p}{n}) \cdot n)'=ln(1+\frac{p}{n})- \frac{p}{n+p} \end{eqnarray*}$

aufgeschrieben (ich hoffe, die stimmt so...). Aber das macht ja eigentlich nichts, da ich die Ungleichung sowieso durch

$\begin{eqnarray*} e^{ln(1+\frac{p}{n}) \cdot n} \end{eqnarray*}$

dividiert hätte.

(Ich möchte mich im Übrigen beim TE dafür entschuldigen, mich derart in seinen Faden einzuschleichen Big Laugh

)

Edit: Der Lösungsweg von Arhtur Dent ist wie gewöhnlich einfach nur genial *Neid* Freude

Neue Frage »

Antworten »

Zeigen das folge monoton wachsend ist + anschauliche Bedeutung

Verwandte Themen