Einzugsbereich des Newton-Verfahrens

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OS30 Auf diesen Beitrag antworten »
Einzugsbereich des Newton-Verfahrens
Hallo
Ich sitze an der folgende Aufgabe.

Betrachten Sie das newton-Verfahren für die skalara Funktion f(x)=1-(1/x) und weisen Sie folgende Eigenschaften in Abhängigkeit des Startwert nach:

(a) für und divergiert das Verfahern
(b) für und ist das Verfahren nicht durchführbar
(c) für konvergiert das Verfahren quadratisch gegen die einzige Nullstelle

(b) ist klar,einfach die startwerte einsetzen und schauen
(c) Hier möchte ich den eigentlich die Formel verwenden.
K ist ja der konstantne Faktor mit , jedoch habe ich für unendlich raus und da bleibe ich hängen.

(a) kann man eigentlich aus c folgern oder?

Mit freundlichen Grüssen
OS30
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: einzugsbereich des Newton-Verfahrens


Die Nullstelle finden wir ja auch durch scharfes Hinsehen.





Auf dem Definitionsbereich ist f stetig und stetig differenzierbar. Wir finden also eine Umgebung von x*, auf der das Newtonverfahren definiert ist.

Warum x=0 ungeeignet ist, ist sofort klar. Definitionsbereich. Schauen wir uns die Iterationsvorschrift an:





Sprich, man könnte das Problem mit der Division durch 0 zwar beseitigen, bliebe aber immer auf x=0, was offensichtlich keine Lösung ist. Und bei x=2 ist man nach einer Iteration auch an diesem Punkt.

Kannst du erläutern, was du bei (c) verwenden willst? Ferner foltg aus (c) nicht unbedingt (a). Kommt darauf an, wie (c) gezeigt wurde. Ich würde eher damit arbeiten, dass f auf [0,+oo[ konkav ist und auf ]-oo,0] konvex. Was kann man dann über die Nullstellen der Tangenten sagen?
OS30 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für deine Antwort

Also neben dem b) können wir ein Haken machensmile

Also zur c)
Hab von Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren unter Lokale quadratische Konvergenz) einfach die Formel ubernommen.
K muss eigentlich 1 sein und dann würde ja auch die Abschätzung stimmen, dass die Startwerte zwischen 0 und 2 liegen mussen.Jedoch kommt bekomme ich unendlich raus.


Mit konkav und konvex zu beweisen wäre ich jetzt überfordert, Was ist mit der Nullstelle der Tangente gemeint? etwa die nullstellen der Ableitung?


Freundliche Grüsse

OS30
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Konvex und konkav ist ganz einfach. Bietet sich auch an, denke mal an den Beweis beim Wurzelverfahren von Heron. Da argumentiert man auch so.

Wie lautet denn die zweite Ableitung von f?

Bei wiki, ja, das ist aber doch was anderes. Man kann bei Newton eben eine Kugel finden, wo das quadratisch konvergiert. Das wollen wir doch gar nicht. Wir wollen: Konvergenz, egal wie langsam.
OS30 Auf diesen Beitrag antworten »

zweite Ableitung von f wäre






und wenn ich davon das in absolut betrachte im intervall von 0 und 2 , dann ist ja max bei unendlich.

Oder denke ich irgendwie falsch?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wann ist die zweite Ableitung größer, wann kleiner 0?
 
 
OS30 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann ja bei diesem Grahp f''(x)=-2/x^3 ablesen dass im Intervall 0 und unendlich konkav ist und im Intervall -unendlich und 0. konvex ist.

Vorhin hast du mich gefragt mit der Nullstelle der Tangente.Was ist genau damit gemeint?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der zweiten Ableitung begründet man diese Optik auch. Nennt sich Krümmungsverhalten. Schau mal in einer Kurvendiskussion nach.

Was passiert nun, wenn ich x0 < 0 wähle. Wo liegt dann mein nächster Wert?
OS30 Auf diesen Beitrag antworten »

für x>0 ist es kleiner 0 und für x<0 ist es grösser 0
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »




Naja, für x0< 0 werden die Werte immer kleiner werden. Wir entfernen uns also von der Lösung x=1.

Was passiert nun für x0>0. Wann landen wir da denn mit x1 im negativen Bereich und entfernen uns somit auch von der Lösung?
OS30 Auf diesen Beitrag antworten »

der nächste wert würde x_1<x0<0 sein.

Dass heisst monoton fallend. Das ist mir auch klar, wie kann ich es "schriftlich zeigen"

analog gilt es für x0>2. Dann werden die Werte imme grosser als der vorherige Wert.
monoton steigend.


Dass heisst bei beiden dass ich immer mehr von der Lösung entferne also divergenz.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, irgendwie räts du hier nur rum.... Wir wissen doch, wo die Nullstelle der Tangenten ist...



Daraus folgt für xk < 0



und



Was passiert für x_k > 2



Also sind wir wieder im negativen Bereich. Damit konvergiert das Verfahren dort auch nicht. Somit ist (a) gezeigt. Nun versuch du (c) zu begründen. (a) und (b) reichen dafür so nicht aus.
OS30 Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm
Also

c)
Für x^0 zwischen 0 und 2 habe ich dann positive Werte

KAnn ich zum Beispiele Schreiben
für x^0 zwischen 0 und 1 folgt
0<x^0<x^1<...<1 also konvergiert es gegen 1

und für x^0 zwischen 1 und 2 habe ich
x^0>x^1>...>1 also konvergiert es auch gegen 1


b)
ist klar
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Schreiben kannst du viel. Belegen musst du es.
OS30 Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt

Hmm

Reicht das nicht aus?

Ist es damit nicht bewiesen mit der Schreibweise?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

No, denn dein folgt hast du gar nicht begründest und in Fall 2 ist es auch falsch.
OS30 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du noch Geduld mit mir?smile

Also von vorne

Für 0<x^0<1 gilt


und




Für 1<x^0<2 gilt



und





Stimmt der Anfang zumindest. traurig Gott verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste ist ok. Das zweite gefällt mir nicht. Wenn x0 aus (1,2) ist, wo liegt dann x1?
Sophi87 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich sitzt genau vor der gleichen Aufgabe verwirrt

Und ich hab mir jetzt überlegt das für , ist und und für k 1 gilt

, aber liegt auch zwischen 0 und 1, dh doch eigentlich das dann auch gegen 1 konvergiert, oder wie kann ich das dann ausdrücken?

Liebe Grüße
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »



I Wir haben nun schon gezeigt, dass für x=0 und x=2 das Verfahren nicht definiert ist (Im PC wird wohl nicht gekürzt werden...) oder eben wir auf x=0 stagnieren, was offensichtlich keine Lösung ist.

II - Starten wir nun mit . Die Teilfunktion ist konvex, und wir entfernen uns immer weiter von der Nullstelle.

III Starten wir mit , so ist n und wir sind in Fall II.

IV Starten wir mit , dann landen wir, da die Funktion konkav ist im Intervall (0,1). Das ist Fall V

V Ihr müsst nun also untersuchen, ob hier das NV gegen x*=1 konvergiert.


Du begründest deine Schlüsse nicht genügend. Was folgt (mit Belegen!) für x1 wenn x0 aus (0,1) stammt?
OS30 Auf diesen Beitrag antworten »

m
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von OS30
Also wenn ich 1<x^0<2 wähle,
dann liegt 1<x^1<x^0


Nein, das stimmt nicht. Nach der ersten Iteration landet man in (0,1).
OS30 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tigerbine
Hab mein Fehler bemerkt


Es gilt also 0<x^1<...<x^n<1<x^0
für x^0 zwischen 1 und 2.


Ich habe eine Frage zu dieser Aussage
Also wenn wir <1<x^0<2 wählen, dann landen wir im Intervall zwischen (0,1),da die funktion konkav ist.


Das die Funktion konkav ist für x>0 haben wir ja gezeigt, aber wie kommt drauf dass man für 1<x0<2
im Intervall zwischen (0,1) landet.Wobei man man für 0<x^0<1 auch im diesen Intervall landet.

Mit freundlichen Grüssen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »



Kleine Kruvendiskussion:



Also Lande ich im Intervall (0,1). Dort gilt dann



Also bleibe ich da drinnen. Da die Funktion konkav ist und unterhalb der x-Achse verläuft, werden die xk immer größer. Sie sind von oben durch 1 beschränkt, die Folge konvergiert also. Es ist noch nicht gesagt, dass sie gegen 1 konvergiert. Das solltest du dann noch erklären.
OS30 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön

hab ich mir das sehr kompliziert vorgestellt,ok hab verstanden.

Dann wurde ich zeigen dass der Hochpunkt beim 1 ist.
und dass die folge monoton steigend ist

und dann zeigen dass die folge gegen 1 konvergiert mit dem Grenzwertsatz.


Nochmal danke

mfg Os30
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Wissen dass die Folge konvergent ist und monoton steigend kannst du mit dem richtigen "Trick" den Grenzwert 1 Begründen.
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