Extrema mit Nebenbedingungen

30.06.2009, 15:04

Wittgenstein

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Extrema mit Nebenbedingungen

Hallo,

ich soll einen Sattelpunkt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^2 \to \mathbb R : \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \to x^2+y^2-10 x-8 y+4 xy+10 \end{eqnarray*}$

bestimmen, und anschließend herausfinden, für welche $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ der Schnitt des Graphen

$\begin{eqnarray*} G(f)=((x,y,z)^T \in \mathbb R ^2 \times \mathbb R |z = f(x,y)^T) \end{eqnarray*}$ von f mit der Ebene

$\begin{eqnarray*} ((x,y,z)^T \in \mathbb R ^3|y = m(x-1)+2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)^T \end{eqnarray*}$

ein Maximum annimmt, und für welche m ein Minimum.

Den Sattelpunkt zu bestimmen habe ich noch selber geschafft:

$\begin{eqnarray*} grad(f)=\begin{pmatrix} 2x-10+4y \\ 2y-8+4x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wird nur null bei x=1 und y=2.

$\begin{eqnarray*} H(f)= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist für jeden Punkt indefinit, also ist x=1, y=2 der Sattelpunkt.

Weiter weiß ich leider nicht, und ich habe auch keine Idee, wie ich G(f) interpretieren soll... Die Ebene ist doch die x-z-Ebene oder? Aber warum kommt in ihrer Gleichung dann nur ein x vor?

01.07.2009, 00:14

Abakus

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RE: Extrema mit Nebenbedingungen
Die Projektion der Ebene in die xy-Ebene ist eine Gerade. Die Ebene selbst steht auf der xy-Ebene senkrecht. Ist das vorstellbar?

Grüße Abakus smile

smile

01.07.2009, 00:35

Wittgenstein

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hmm.. ich glaube ich verstehe die Schreibweise noch nicht so ganz,
bedeutet das $\begin{eqnarray*} G(f)=((x,y,z)^T \in \mathbb R ^2 \times \mathbb R |z = f(x,y)^T) \end{eqnarray*}$ die Projektion von f in die xy-Ebene?
Aber f liegt doch selbst nur in der xy-Ebene ... dann ändert sich doch dadurch nichts

01.07.2009, 01:12

Abakus

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RE: Extrema mit Nebenbedingungen
Ich meine nur die folgende Ebene, nicht die Quadrik:

$\begin{eqnarray*} \{(x,y,z)^T \in \mathbb R ^3|y = m(x-1)+2 \} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} G(f) \end{eqnarray*}$ ist der Graph von f, jedem Punkt der xy-Ebene wird noch eine Höhe zugeordnet.

Grüße Abakus smile

smile

01.07.2009, 01:22

Wittgenstein

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Also G(f) ordnet der Quadrik f noch die Höhe $\begin{eqnarray*} z = f(x,y)^T) \end{eqnarray*}$ zu?

und $\begin{eqnarray*} \{(x,y,z)^T \in \mathbb R ^3|y = m(x-1)+2 \} \end{eqnarray*}$ ist eine Ebene, die auf der xy-Ebene senkrecht steht? Woran erkennt man das?

01.07.2009, 01:39

Abakus

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Zitat:

Original von Wittgenstein
Also G(f) ordnet der Quadrik f noch die Höhe $\begin{eqnarray*} z = f(x,y)^T) \end{eqnarray*}$ zu?

Nimm es nicht zu wörtlich, sondern versuche es dir vorzustellen: der Graph ist in diesem Fall eine Fläche im Raum. Jeder Punkt dieser Fläche lässt sich als (x, y, f(x,y)) schreiben und f(x,y) kannst du dir als Höhe über (x, y) vorstellen.

Zitat:

und $\begin{eqnarray*} \{(x,y,z)^T \in \mathbb R ^3|y = m(x-1)+2 \} \end{eqnarray*}$ ist eine Ebene, die auf der xy-Ebene senkrecht steht? Woran erkennt man das?

Wann stehen 2 Ebenen aufeinander senkrecht? Gesucht ist zB eine Formulierung mit geeigneten aufspannenden Vektoren. Das könntest du dann überprüfen.

Grüße Abakus smile

smile

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01.07.2009, 02:24

Wittgenstein

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Danke, dann hab ich schonmal verstanden was G(f) ist.

Zwei Ebenen stehen senkrecht aufeinander, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht zu einander sind.

Die Ebenengleichung für die xy-Ebene lautet ja z=0, also $\begin{eqnarray*} n_1=\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_2=\begin{pmatrix} -2x+10-4y \\ -2y+8-4x \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wäre dann der Normalenvektor von f, wenn ich http://de.wikipedia.org/wiki/Normalenvektor richtig verstanden habe...

Damit die Ebenen senkrecht aufeinander stehen, müssen ja die Normalenvektoren miteinander multipliziert null ergeben, das passt aber bei mir nicht, wenn ich für y=m(x-1)+2 einsetze unglücklich

unglücklich

01.07.2009, 04:51

WebFritzi

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Was du da schreibst, ist größtenteils Quatsch... Du hältst dich eh nur mit Nebensächlichkeiten auf. Nehmen wir uns einen Punkt (x,y,f(x,y)) aus G(f). Wann liegt dieser in der gegebenen Ebene?

01.07.2009, 10:09

Wittgenstein

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Ich würde sagen der Punkt (x,y,f(x,y)) liegt in der Ebene, wenn er die Gleichung $\begin{eqnarray*} y = m(x-1)+2 \} \end{eqnarray*}$ erfüllt...

Ich glaube ich versteh gar nicht so richtig wie mit $\begin{eqnarray*} \{(x,y,z)^T \in \mathbb R ^3|y = m(x-1)+2 \} \end{eqnarray*}$
eine Ebene definiert ist. Ich kenne Ebenen eigentlich nur in Parameterform und Normalenform

01.07.2009, 15:58

WebFritzi

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Zitat:

Original von Wittgenstein
Ich würde sagen der Punkt (x,y,f(x,y)) liegt in der Ebene, wenn er die Gleichung $\begin{eqnarray*} y = m(x-1)+2 \} \end{eqnarray*}$ erfüllt...

Richtig. Das kannst du für die z-Koordinate des Punktes verwenden. Sowohl y- als auch z-Koordinate des Punktes sind nur von x abhängig.

Zitat:

Original von Wittgenstein
Ich glaube ich versteh gar nicht so richtig wie mit $\begin{eqnarray*} \{(x,y,z)^T \in \mathbb R ^3|y = m(x-1)+2 \} \end{eqnarray*}$
eine Ebene definiert ist. Ich kenne Ebenen eigentlich nur in Parameterform und Normalenform

Soweit ich mich erinnern kann, nennt man diese Form die "Koordinatenform" der Ebene. Den Normalenvektor kannst du stets an den Koeffizienten vor x, y und z ablesen. Hier ist er (m,-1,0). Übrigens ist das hier auch gar nicht so wichtig. Die Hauptsache ist, dass du für y eine Abhängigkeit von x bekommst, so dass das Extremalproblem mit den zwei Variablen x und y zurückgeführt werden kann auf eines mit nur einer Variable - nämlich x himself. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.07.2009, 16:59

Wittgenstein

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ok, ich habe jetzt in G(f) die Ergebnisse für y und z eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} G(f)= \begin{pmatrix} x \\ mx-m+2 \\ m^2x^2-2m^2x+4mx-4m+m^2+4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich weiß leider immer noch nicht, wie ich jetzt weiter vorgehen soll...
und was hat der Sattelpunkt (1,2) damit zu tun?

01.07.2009, 17:19

WebFritzi

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RE: Extrema mit Nebenbedingungen
Dein Einsetzen war richtig.

Zitat:

Original von Wittgenstein (abgeändert)
und anschließend herausfinden, für welche $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ der Schnitt des Graphen

$\begin{eqnarray*} G(f) = \{(x,y,z)^T \in \mathbb R^3 : z = f(x,y)^T\} \end{eqnarray*}$ von f mit der Ebene

$\begin{eqnarray*} E_m := \{(x,y,z)^T \in \mathbb R^3 : y = m(x-1)+2\} \end{eqnarray*}$

in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)^T \end{eqnarray*}$

ein Maximum annimmt, und für welche m ein Minimum.

Ich sehe gerade, dass diese Formulierung Murks ist. Eine vektorielle Menge kann kein Max oder Min annehmen. Es ist folgendes gemeint: Sei $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ der Schnitt von G(f) mit der Ebene $\begin{eqnarray*} E_m. \end{eqnarray*}$ Für welche m liegt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0,f(x_0,y_0))^T \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} S_m, \end{eqnarray*}$ so dass die Funktion g(x,y,z) := z auf $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0,f(x_0,y_0))^T \end{eqnarray*}$ ein Minimum (Maximum) annimmt?

Beantworte erstmal die erste Frage: "Für welche m liegt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0,f(x_0,y_0))^T \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ ?"

01.07.2009, 17:31

Wittgenstein

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Da stellt sich mir die Frage, wie ich den Schnitt $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ berechne...

$\begin{eqnarray*} E_m := \{(x,y,z)^T \in \mathbb R^3 : y = m(x-1)+2\} \end{eqnarray*}$

ist ja für jedes beliebige m für den Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)^T=(1,2)^T \end{eqnarray*}$ erfüllt...

01.07.2009, 17:36

WebFritzi

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Zitat:

Original von Wittgenstein
Da stellt sich mir die Frage, wie ich den Schnitt $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ berechne...

Das hast du oben bereits getan. Schau dir deinen 6. Beitrag an. Die Vektoren in $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ haben gerade diese Form.

Zitat:

Original von Wittgenstein
$\begin{eqnarray*} E_m := \{(x,y,z)^T \in \mathbb R^3 : y = m(x-1)+2\} \end{eqnarray*}$

ist ja für jedes beliebige m für den Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)^T=(1,2)^T \end{eqnarray*}$ erfüllt...

Richtig. Jetzt schau dir die Funktion g(x,y,z) = z an und berechne die Minima und Maxima von g auf $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ (in Abhängigkeit von m).

01.07.2009, 17:47

Wittgenstein

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Also wenn $\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=z \end{eqnarray*}$ ist, dann kann ich doch auch schreiben

$\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=z=f(x,y)=f(x,mx-m+2)= m^2x^2-2m^2x+4mx-4m+m^2+4 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das dann ableite und null setze, dann bekomme ich für m Werte in Abhängigkeit von x raus...
kann das sein?

01.07.2009, 19:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von Wittgenstein
Also wenn $\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=z \end{eqnarray*}$ ist, dann kann ich doch auch schreiben

$\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=z=f(x,y)=f(x,mx-m+2)= m^2x^2-2m^2x+4mx-4m+m^2+4 \end{eqnarray*}$

Freude

Zitat:

Original von Wittgenstein
Wenn ich das dann ableite und null setze, dann bekomme ich für m Werte in Abhängigkeit von x raus...
kann das sein?

OK, ableiten ist richtig. Und dann x = 1 einsetzen und schauen, wann 0 rauskommt. Die zweite Ableitung sagt dir dann, ob es ein Max oder ein Min ist.

01.07.2009, 19:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von Wittgenstein
$\begin{eqnarray*} G(f)= \begin{pmatrix} x \\ mx-m+2 \\ m^2x^2-2m^2x+4mx-4m+m^2+4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich sehe grad, dass du falsch eingesetzt hast.

01.07.2009, 21:05

Wittgenstein

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ok habs nochmal nachgerechnet:

$\begin{eqnarray*} G(f)= \begin{pmatrix} x \\ mx-m+2 \\ m^2x^2-2m^2x+4mx^2+m^2+x^2-12mx-2x-12m-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hoffe ich habe mich da nicht verrechnet.

$\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=m^2x^2-2m^2x+4mx^2+m^2+x^2-12mx-2x-12m-2 \end{eqnarray*}$

nach x ableiten ergibt:

$\begin{eqnarray*} g'(x)=2m^2x-2m^2+8mx+2x-12m-2 \end{eqnarray*}$

aber wenn ich da jetzt x=1 einsetze und gleich null setze erhalte ich m=2.
Einsetzen von m=2 in der zweiten Ableitung ergibt

$\begin{eqnarray*} g''(x)=2m^2+8m+2=26 \end{eqnarray*}$

Also liegt ein Minimum vor.

richtig so?

02.07.2009, 02:35

WebFritzi

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RE: Extrema mit Nebenbedingungen
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2+y^2-10 x+(4x - 8)y+10 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} y = mx+(2-m) \end{eqnarray*}$ ist das

$\begin{eqnarray*} && x^2 + [mx+(2-m)]^2 - 10x + (4x-8)[mx+(2-m)] + 10\\ &=& x^2 + m^2x^2 + 2m(2-m)x + (2-m)^2 - 10x + 4mx^2 - 8mx + 4(2-m)x - 8(2-m) + 10\\ &=& [m^2 + 4m + 1]x^2 + [2m(2-m) - 10 - 8m + 4(2-m)]x + [(2-m)^2 - 8(2-m) + 10]\\ &=& [m^2 + 4m + 1]x^2 - 2[m^2 + 4m + 1]x + [m^2 + 4m - 2]\\ &=& [m^2 + 4m + 1]\cdot[x^2 - 2x + 1] - 3\\ &=& [m^2 + 4m + 1]\cdot (x-1)^2 - 3. \end{eqnarray*}$

Rechnen solltest du schon selber können.

02.07.2009, 22:48

Wittgenstein

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ja, ich habs jetzt nochmal nachgerechnet und verstanden.. bin jetzt auf das selbe ergebnis gekommen Ups

Ups

danke für die hilfe

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