Herleitung Zylindermantelfläche = 2pih*R

30.06.2009, 17:25

Peatrickx

Herleitung Zylindermantelfläche = 2*pi*h*R

Hi,

könnte mir bitte jemand bei folgendem Problem helfen:

Ich muss die Mantelfläche eines Zylinders mit Hilfe des Oberlächenintegrals 1. Art berechnen.
Bisher hab ich es mit und ohne Zylinderkoordinaten versucht, kam allerdings nicht auf das gewünschte Ergebnis.
Vielleicht kann mir ja jemand sagen, wie es richtig geht, weil ich meinen Fehler einfach nicht finde.

Schon einmal Danke im Voraus!

02.07.2009, 09:30

outSchool

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Hallo,
Oberflächenintegrale gehören in den Hochschulbereich Analysis und nicht in die Geometrie der Schulmathematik.
Lies das Script Oberflächenintegrale, dort findest du auch ein Beispiel zu deiner Aufgabe.

02.07.2009, 18:27

knups

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RE: Herleitung Zylindermantelfläche = 2*pi*h*R
Nun, es gibt schon eine Möglichkeit, aber ob das gemeint ist?
Der Zylinder entsteht durch Rotation eine Parallelen zur x-Achse im Abstand r im Intervall von 0 bis h (Höhe des Zyl.)
Eine Formel, die auch in Schulbüchern hergeleitet wird, lautet

Mantel = 2*pi* Integral von 0 bis h über y * Wurzel aus (1+ y´^2 )* dx

Leider schaffe ich es im Moment nich mit LATEX - vielleicht kann jemand helfen?

Da hier y=r konstant ist, vereinfacht sich das Integral

02.07.2009, 18:40

flox

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RE: Herleitung Zylindermantelfläche = 2*pi*h*R
in Zylinderkoordinaten $\begin{eqnarray*} (\rho,\alpha,z) \end{eqnarray*}$ sollte das so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\mathcal{A}} \mathrm{d}A = \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^h r \mathrm{d}z\mathrm{d}\alpha=2\pi\cdot h \cdot r \end{eqnarray*}$
wegen $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}A = r\mathrm{d}z\mathrm{d}\alpha \end{eqnarray*}$ für einen Zylinder.

02.07.2009, 18:50

riwe

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RE: Herleitung Zylindermantelfläche = 2*pi*h*R
dann schreiben wir es einmal her smile

$\begin{eqnarray*} M=2\pi\int_{0}^{h}~y\cdot\sqrt{1+y^{\prime 2}}~dx =2\pi\cdot r\int_{0}^{h}~~dx =2r \pi h \end{eqnarray*}$

02.07.2009, 18:57

knups

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RE: Herleitung Zylindermantelfläche = 2*pi*h*R
wie bekommt man das in LATEX hin? Integral klappt natürlich, aber den Wurzelausdruck einzubinden, macht mir Probleme

02.07.2009, 19:22

tigerbine

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RE: Herleitung Zylindermantelfläche = 2*pi*h*R
$\begin{eqnarray*} M=2\pi\int_{0}^{h}~y\cdot\sqrt{1+y^{\prime 2}}~dx =2\pi\cdot r\int_{0}^{h}~~dx =2r \pi h \end{eqnarray*}$

code:
1: 2:	[latex]M=2\pi\int_{0}^{h}~y\cdot\sqrt{1+y^{\prime 2}}~dx =2\pi\cdot r\int_{0}^{h}~~dx =2r \pi h[/latex]

02.07.2009, 20:22

knups

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RE: Herleitung Zylindermantelfläche = 2*pi*h*R
und das geht nicht einfacher???

02.07.2009, 20:27

tigerbine

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RE: Herleitung Zylindermantelfläche = 2*pi*h*R
Was ist da kompliziert? Augenzwinkern

Wurzel ist eben \sqrt{}

02.07.2009, 22:08

knups

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RE: Herleitung Zylindermantelfläche = 2*pi*h*R
$\begin{eqnarray*} 2*\pi\int_{0}^{h}~y*\sqrt{1+(y´)^2}~dx \end{eqnarray*}$

02.07.2009, 22:12

knups

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RE: Herleitung Zylindermantelfläche = 2*pi*h*R
$\begin{eqnarray*} 2*\pi\int_{0}^{h}~y*\sqrt{1+y´}~dx \end{eqnarray*}$

Wo ist der Fehler bei (y´)^2 ??

02.07.2009, 23:06

riwe

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RE: Herleitung Zylindermantelfläche = 2*pi*h*R

Zitat:

Original von knups
$\begin{eqnarray*} 2*\pi\int_{0}^{h}~y*\sqrt{1+y´}~dx \end{eqnarray*}$

Wo ist der Fehler bei (y´)^2 ??

steht doch eh darüber smile

$\begin{eqnarray*} y^{\prime 2} \end{eqnarray*}$ wie von tigerbine oben angegeben y^{\prime 2}

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