Winkel zwischen Tangentialebenen bestimmen

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smiiile Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel zwischen Tangentialebenen bestimmen
Hallo,
ich möchte den Winkel zwischen den Tangentialebenen im Punkt (1,1) bestimmen.

Gegeben sind:

und



Ich möchte als erstes die Tangentialebene von bestimmen.

Bis jetzt bin ich so weit gekommen:

Als erstes habe ich z berechnet.


Damit habe ich den Tangentialpunkt (1,1,-2)

als nächstes habe ich die Gleichung umgeformt zu:



Nun habe ich alle partiellen Ableitungen bestimmt.







nun habe ich




für setzte ich die Werte des Tangentialpunktes ein.
Es ergibt sich







Allerdings sieht mir das ganze ein wenig kompliziert aus. Dies müsste ja jetzt die Gleichung der Tangentialebene sein, oder?

Stimmt das so?

Jetzt müsste ich noch die zweite Tangentialebene berechnen und dann den Winkel ausrechnen.


Was ich auch noch nicht ganz verstehe ist, was eine Tangentialebene eigentlich ist. Kann ich mir diese analog zur Tangente als Ebene vorstellen, die die Quadrik zwar berührt, aber nicht schneidet? Die im Punkt (1,1,-2) also genau die gleiche Steigung hat wie die Quadrik?

Grüße
smiiile
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt, was eine Tangente an eine Kurve ist. Zum Beispiel ist die Tangente an die Parabel y=x^2 im Punkt (x|y)=(1|1) die Gerade y=2x+0,5. Der Begriff „Tangentialebene“ ist eine Verallgemeinerung des Begriffes „Tangente“ für Funktionen f(x,y,...) im Fall mehrerer Variablen.

Eine Funktion f(x,y), die von 2 Variablen abhängt, kann man sich anschaulich als „Gebirge“ über der x,y-Ebene vorstellen. Die Größe f gibt also die Höhe über dem Meeresspiegel an der Stelle (x|y) an. Wenn man an einem Punkt (x|y) eine Tangentialebene anlegen soll, so ist das diejenige Ebene, welche das Gebirge an diesem Punkt berührt. Diese Ebene liegt i.A. schräg im Raum – ganz ähnlich wie die Tangente einer Kurve meist schräg liegt.

Stell dir z.B. einen Fussball vor, an den du in irgendeinem Punkt ein „Brett“ anlegst. Dieses Brett ist dort die Tangentialebene. Die Tangentialebene ist also ein ganz anschaulicher Begriff.

Ich sage dir nun, wie ich die Tangentialeben in einem Punkt berechnen kann:

Stell dir einen „Wandere im Gebirge“ f(x,y) vor, der an der Stelle (x|y)=(1|1) steht. An diesem Punkt kann er sich entscheiden, ob er z.B. in die x-Richtung (1|0) oder in die y-Richtung (0|1) weiter wandert. Wir bestimmen die Anstiege in beide Wanderrichtungen. Das sind gerade die beiden partiellen Ableitungen df/dx und df/dy. Wenn du in diese partiellen Ableitungen den Punkt (x|y)=(1|1) einsetzt, erhälst du zwei Zahlen, die gerade die Anstieg in diese Richtungen sind.

Wie man sich leicht klarmacht, spannen die beiden dreidimensionalen Vektoren (1|0|df/dx) und (0|1|df/dy) die Tangenstialebene auf, wobei df/dx und df/dy die oben berechneten Anstiege sind. (Mache dir das klar. Die Sache ist total anschaulich!!!).

Nun hast du also zwei dreidimensionale Vektoren (1|0|df/dx) und (0|1|df/dy) und einen dreidimensionalen Punkt (1|1|f(1,1) und musst die Ebenengleichung aufstellen, die durch diesen Punkt geht und durch die beiden genannten Vektoren aufgespannt wird. Das ist Schulstoff Klasse 11. So hat man die Tangentialebene.

Für die zweite Funktion machst du es genauso. Den Schnittwinkel beider Tangentialebene berechnet man, indem man für jede Ebene denjenigen Vektor berechnet, der auf der Ebene senkrecht steht.

Der Winkel zwischen beiden senkrechten Vektoren ist identisch mit dem Schnittwinkel beider Ebenen. Auch dies ist anschaulich verständlich. Die beiden senkrechten Vektoren sind übrigens gerade die Kreuzprodukte der beiden Vektoren, welche die Ebene Aufspannen.
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Ehos

Superb. Es geht also doch, auch ohne Komplettlösung. Vorbildlich, und ich bin sicher, der Fragesteller wird daraus weit mehr Gewinn ziehen können, als es andernfalls je möglich gewesen wäre.

mY+
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichungen für die Tangentialebenen brauchst du überhaupt nicht aufzustellen. Es reicht, wenn du die beiden Normalenvektoren hast. Der gesuchte Schnittwinkel ist dann der Winkel zwischen diesen beiden Normalenvektoren (siehe auch Ehos). Der jeweilige Normalenvektor ist

smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

wow!
vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen...
@ ethos: Da hast du ja einen richtigen Roman geschrieben.. sehr anschaulich smile
Ich habe jetzt soweit verstanden, was eine Tangentialebene ist.


zuerst einmal zu

Mein Wanderer steht jetzt also an der Stelle (1,1) im Gebirge.
Würde er in Richtung der x-Achse weiterlaufen, hätte er die Steigung df/dx im Punkt (1,1) =
Es geht also pro schritt nach vorne 4 Schritte nach unten.

Würde er in Richtung der y-Achse weiterlaufen, hätte er die Steigung df/dy im Punkt (1,1) =
Es geht also pro schritt nach vorne 4 Schritte nach unten.

Du hast geschrieben:

"An diesem Punkt kann er sich entscheiden, ob er z.B. in die x-Richtung (1|0) oder in die y-Richtung (0|1) weiter wandert."


Dazu habe ich noch eine Frage. Ist es wichtig, dass ich hier gerade die 1 wähle? Denn (0.5/0) wäre ja auch ein Schritt in x-Richtung, wenn auch nur ein kleiner. Dann müsste ich eben analog (0/0,5) in y-Richtung wählen.
Oder ich könnte einen Schritt rückwärts machen (-1/0) in x-Richtung und (0/-1) in y-Richtung.

Die Steigung müsste ja trotzdem die gleiche sein.
Könnte ich dies analog einsetzen?

Nun mal weiter in der Berechnung.

Ich habe den Tangentialpunkt (1/1/2)

und die beiden Richtungsvektoren a=(1/0/-4) und b= (0/1/-4)

Damit ergibt sich die Ebene:



Dabei ist der Normalenvektor ( das x in der Mitte soll jeweils das Kreuzprodukt darstellen, das habe ich nicht gefunden.)

Die Koordinatengleichung der Tangentialebene im Punkt (1/1/2) ist also

stimmt das so?
Auf die gleiche Art muss ich dann auch die zweite Ebene bestimmen und dann den Winkel zwischen den Normalenvektoren ausrechnen.
Diesen Winkel kann ich ja auch wie WebFritzi angemerkt hat bestimmen, ohne die Ebenengleichungen zu kennen.

Den Normalenvektor der zweiten Ebene habe ich zu
berechnet.

Um nun den Winkel zu bestimmen, verwende ich die Formel

Jetzt hänge ich nochmals.. Der cosinus geht ja nur von -1 bis +1. Also kann er doch nicht -1.74 ergeben... Kann ich jetzt irgendeinen Trick anwenden, dass der Wert zwischen -1 und 1 liegt?

Gruß
smiiile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es gibt einen Trick, nämlich jenen, dass du die Beträge der beiden Vektoren richtig berechnest ... Big Laugh

mY+
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

oh... ja da hab ich mich verrechnet.
Richtig müsste es so heißen



Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die partiellen Ableitungen lauten df/dx=-4 und df/dy=-4 sind korrekt. Das heißt, dass ein Schritt der Länge 1 in positive x- bzw. y-Richtung genau einen Höhenverlust um -4 bedeutet.

Wenn du den Schritt nur halb so lang wählst, also nur 0,5, dann ist der Höhenabfall natürlich nur halb so groß und beträgt somit -2. Die „Schrittlänge“ und der „Höhenabfall“ sind also proportional wie bei einer simplen Geraden y=mx+n.

Deine beiden Richtungsvektoren sind richtig:

Vektor 1: (1|0|-4)
Vektor 2: (0|1|-4)

Natürlich sind diese Vektoren nicht eindeutig. Du kannst anstelle der Schrittlänge 1 jede beliebige andere Schrittlänge k wählen und erhältst dann die Vektoren

Vektor 1: (k|0|-4*k)
Vektor 2: (0|k|-4*k)_____k beliebig

Wenn du k<0 wählst, geht der Wanderer rückwärts, was aber an der Ableitung nichts ändert, weil sich die Minuszeichen kürzen.

In deinem ersten Beitrag vom 01.07.09 um 20:25 hast du den Tangentialpunkt (1|1|-2) richtig angegeben. In deinem Beitrag vom 02.07.09 um 00:08 schreibst du (1|1|2). Hier fehlt das Minuszeichen, womit auch deine Ebenengleichung auch falsch wird.

Der Normalvektor (4|4|1) ist trotzdem korrekt, weil dieser nur von den Tangentialvektoren abhängt.

Die zweite Ebene habe ich nicht mehr nachgerechnet.
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank fürs Nachrechnen.

Ja, das Minus hab ich vergessen nochmals abzuschreiben. Das hat aber ja nur Auswirkungen auf den Tangentialpunkt, wie du schon geschrieben hast.

Jetzt ist mir auch klar, dass ich den Schritt z.B. nur halb so lang wählen kann. Die Richtungsvektoren darf ich ja mit jeder beliebigen Länge multiplizieren, die Richtung bleibt dabei gleich.

jetzt habe ich alles verstanden smile

Gruß
smiiile
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