Känguru Test Aufgabe

30.06.2009, 20:45	_-Alex-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Känguru Test Aufgabe Tach, ich hab hier letztens mal diese Känguru Test gefunden. Und da war eine Aufgabe, wo ich einfach mal gerne wüsste wie man da auf das Ergebnis kommt. Also die Aufgabe ist: Die Folge {a(n} von ganzen Zahlen ist folgendermaßen definiert: a(0)=1; a(1)=2; a(n+2)=a(n)+a(n+1)^2 für n größer gleich 0. Dann ist der Rest, den a(2009) bei der Division durch 7 lässt, gleich: a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 6 Das richtige Ergebnis ist b) 1. Aber ich weiß nicht wie man sowas angehen soll. Ich hab mir nur gedacht, dass man das ja schlecht ausrechnen kann. Aber ich hab auch nichts gefunden was man schnell kürzen kann. Könnt ihr mir den Lösungsweg mal erklären? MfG
30.06.2009, 20:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nette Aufgabe. Definiere $\begin{eqnarray} b_n := a_n \bmod 7 \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} b_0=1; b_1=2; b_{n+2} = (b_n+b_{n+1}^2) \bmod 7 \end{eqnarray}$ Einfach mal die ersten Werte aufschreiben, bis man in eine Periode von zwei gleichlautenden Werten läuft: $\begin{eqnarray} b_0 &=& 1\\ b_1 &=& 2\\ b_2 &=& 5\\ b_3 &=& 6\\ b_4 &=& 6\\ b_5 &=& 0\\ b_6 &=& 6\\ b_7 &=& 1\\ b_8 &=& 0\\ b_9 &=& 1\\ b_{10} &=& 1\\ b_{11} &=& 2 \end{eqnarray}$ Hat gedauert, aber da ist sie, die Periode: Nach den vorangegangenen Berechnungen gilt dann $\begin{eqnarray} b_{n+10} = b_n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Somit ist dann auch $\begin{eqnarray} b_{2009} = b_9 = 1 \end{eqnarray}$ .
30.06.2009, 21:38	_-Alex-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja mal krass auf ne Periode warten. Ich hätte da spätestens, nach 3 Werten aufgehört . Besten Dank
30.06.2009, 21:39	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
So krass ist das nicht, da man von vornherein weiß, dass die Periode existiert und zudem maximal $\begin{eqnarray} 7^2=49 \end{eqnarray}$ sein kann - dann muss man eben Geduld haben.

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