Trace (Tr) Funktion berechnen?

30.06.2009, 20:58	freakyhans	Auf diesen Beitrag antworten »
Trace (Tr) Funktion berechnen? Hi, F8 gegeben als F2/x^3+x+1 Gesucht, Trace Funktion der einzelnen Elemente d.h. 0,1,a,a+1,a^2,a^2+1 .. etc Nehmen wir jetzt als Bsp Trace Funktion für Tr(a+1) = (a+1) + (a+1)^2 + (a+1)^4 Aber wie gehts jetzt weiter?? Danke!! Gruß
01.07.2009, 16:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir nicht sicher, ob ich deine Aufgabe richtig verstehe, nämlich daß die Spur $\begin{eqnarray} S(t) \end{eqnarray}$ eines Elementes $\begin{eqnarray} t \in \mathbb{F}_8 \end{eqnarray}$ über dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ berechnet werden soll. Man erhält $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_8 \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ durch Adjunktion eines Elementes $\begin{eqnarray} \operatorname{i} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_8 = \mathbb{F}_2 ( \operatorname{i} ) \end{eqnarray}$ für das die Relation $\begin{eqnarray} \operatorname{i}^3 + \operatorname{i} + 1 = 0 \end{eqnarray}$ besteht. $\begin{eqnarray} 1, \operatorname{i}, \operatorname{i}^2 \end{eqnarray}$ bilden eine Basis, wenn man $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_8 \end{eqnarray}$ als Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ auffaßt. Die Spur $\begin{eqnarray} S(t) \end{eqnarray}$ ist dann nichts anderes als die Spur der linearen Abbildung $\begin{eqnarray} \lambda_t: \ \mathbb{F}_8 \to \mathbb{F}_8 \, , \ \ x \mapsto tx \end{eqnarray}$ Nehmen wir das Beispiel $\begin{eqnarray} t = \operatorname{i}^2 + 1 \end{eqnarray}$ . Auf der Basis wirkt $\begin{eqnarray} \lambda_{\operatorname{i}^2 + 1} \end{eqnarray}$ folgendermaßen: $\begin{eqnarray} 1 \mapsto \operatorname{i}^2 + 1 \, , \ \ \operatorname{i} \mapsto 1 \, , \ \ \operatorname{i^2} \mapsto \operatorname{i} \end{eqnarray}$ Die Abbildungsmatrix bezüglich dieser Basis hat die Gestalt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und damit die Spur $\begin{eqnarray} 1+0+0=1 \end{eqnarray}$ . Folglich gilt: $\begin{eqnarray} S \left( \operatorname{i}^2 + 1 \right) = 1 \end{eqnarray}$

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