ggt und kgv im Hauptidealring

01.07.2009, 00:50	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
ggt und kgv im Hauptidealring Hi, it's me again, ich stehe wie ein Ochs vorm Berg: Aufgabe lautet: Sei A ein Hauptidealring und seien $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} A\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ . Zeige: $\begin{eqnarray} ggt(a,b)\cdot kgV(a,b)\sim a\cdot b \end{eqnarray}$ nach: Zwei Elemente a,b eines Integritätsringes R heißen zueinander assoziiert, falls eine Einheit $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b = a \cdot \epsilon \end{eqnarray}$ existiert. aber ich weiß ja nicht einmal ob A eine Einheit hat. Nach Satz von Bezout ist $\begin{eqnarray} ggT(a,b)=xa+yb,\qquad x,y\in A \end{eqnarray}$ . aber ob mir das was bringt? Grüße, schmouk
01.07.2009, 19:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptidealringe sind faktoriell, d.h. wir haben eine (bis auf Einheiten eindeutige) Primfaktorzerlegung von ggt(a,b) und kgv(a,b). Die Behauptung schreibt man genauso einfach hin wie in ganzen Zahlen, damit ist der Beweis schon fertig.
02.07.2009, 11:21	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Ja - ich glaube ich kann das sogar so einigermaßen nachvollziehen. Jedenfalls kommt durch nachrechnen von Beispielen immer raus, dass $\begin{eqnarray} ggt(a,b)\cdot kgV(a,b)=a\cdot b \end{eqnarray}$ gilt. Dennnoch: Den Beweisschritt, der aus der Faktorisierbarkeit und der Primfaktorzerlegung zu $\begin{eqnarray} ggt(a,b)\cdot kgV(a,b)=a\cdot b \end{eqnarray}$ führt, ververstehe ich leider nicht. EDIT: Alles quatsch: Habe in einem Uraltschrieb folgenden Beweis gefunden; $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ reduziertes Monoid in dem sich jedes Element (ausser Einheit) eindeutig in das Produkt von Primelementen zerlegen lässt (So wie unser A, weil Hauptidealring, auch faktorieller Ring). Für $\begin{eqnarray} A=\{a,b\} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (1) ggt(A)\cdot kgV(A)=a\cdot b \end{eqnarray}$ also eben obige Gleichung. Als Beweis: Wir schreiben $\begin{eqnarray} x\in A \end{eqnarray}$ in der Form $\begin{eqnarray} x=\prod_p p^{\nu_p(x)} \end{eqnarray}$ , wobei das Produkt über alle Primelemente p zu erstrecken ist (p aus zu A übergeordneter Menge M) und die Exponenten $\begin{eqnarray} \nu_p(x) \end{eqnarray}$ für fast alle p gleich 0 sind. (Das ist ja bis jetzt nichts anderes als die Primfaktorzerlegung) Dann gilt $\begin{eqnarray} ggT(A) = \prod_p p^{min\{\nu_p(x)\|x\in A\}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} kgV(A) = \prod_p p^{max\{\nu_p(x)\|x\in A\}} \end{eqnarray}$ Und dann ist das schon alles. Da muss noch einiges fehlen. Es ist ja auch nicht richtig nu definiert. allerdings ist es mit $\begin{eqnarray} v_p(x) \end{eqnarray}$ auch so eine Sache: Es ist irgendwie der Exponent zum Primfaktor p bezüglich der zusammengesetzten Zahl x. Ich muss mal was gutes über Primfaktorzerlegung lesen. Hat da jemand was für mich? Vielleicht einen guten Beweis warum $\begin{eqnarray} ggt(a,b)\cdot kgV(a,b)=a\cdot b \end{eqnarray}$ gilt!? Grüße, Schmouk Achso und: Zwei gleiche Elemente x und x sind immer assoziiert weil x x teilt!? ist das eigentlich so? EDIT: Eher so: Behauptung: $\begin{eqnarray} ggT(a,b)\cdot kgV(a,b)\sim a\cdot b \end{eqnarray}$ Beweis: Hauptidealringe gehören zu der Klasse der faktoriellen Ringe. In faktoriellen Ringen gilt, jedes Element $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ besitzt eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren. Da $\begin{eqnarray} a,b\in A\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ besitzen eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren. Sei $\begin{eqnarray} A^:=\{p\in A \| p ist irreduzibles Element aus A\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vartheta_p(x) \end{eqnarray}$ der Exponent eines p, so dass gilt $\begin{eqnarray} \prod_{p\in A^} p^{\vartheta_p(x)}=x\quad \end{eqnarray}$ das ist die Primfaktorzerlegung. Also gibt es für $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ jeweils so ein Produkt. $\begin{eqnarray} a= \prod_{p\in A^} p^{\vartheta_p(a)}=p_1^{\vartheta_{p1}(a)}\cdotp_2^{\vartheta_{p2}(a)}\cdots p_i^{\vartheta_{pi}(a)}\cdots \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b= \prod_{p\in A^} p^{\vartheta_p(b)}=p_1^{\vartheta_{p1}(b)}\cdotp_2^{\vartheta_{p2}(b)}\cdots p_i^{\vartheta_{pi}(b)}\cdots \end{eqnarray}$ Der $\begin{eqnarray} ggT(a,b) \end{eqnarray}$ ist dann gerade das Produkt aus allen $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ mit dem minimum aus dem Exponenten zu $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ aus der Primfaktorzerlegung von a und dem Exponenten zu $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ aus der Primfaktorzerlegung von b als Exponent, also min\{\vartheta_p_i(a), {\vartheta_p_i(b)}\} also $\begin{eqnarray} ggT(a,b)=\prod_{p\in A^} p^{min\{\vartheta_p(a),\vartheta_p(b)\}} \end{eqnarray}$ Analog $\begin{eqnarray} kgV \end{eqnarray}$ allerdings mit maximalem Exponenten also $\begin{eqnarray} ggT(a,b)=\prod_{p\in A^} p^{max\{\vartheta_p(a),\vartheta_p(b)\}} \end{eqnarray}$ Multipliziert man jetzt den ggT und das kgV habe ich das Produkt aller Primelemente aus $\begin{eqnarray} A^ \end{eqnarray}$ , einmal mit dem größterem Exponenten und einmal mit dem kleineren Exponenten, der im Zweifelsfalle 0 ist und als ganze Potenz die Einheit ergibt. Das ist gerade die Primfaktorzerlegung von a multipliziert mit der Primfaktorzerlegung von b und das ist $\begin{eqnarray} a\cdot b \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} ggT(a,b)\cdot kgV(a,b)=a\cdot b \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} a\cdot b\|a\cdot b\|a\cdot b \end{eqnarray*}$ folgt die Behauptung.
02.07.2009, 20:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau so geht das. Ein bißchen formaler kann man schreiben $\begin{eqnarray} \epsilon_a \cdot \epsilon_b \cdot ggT(a,b)\cdot kgV(a,b)=\epsilon_a \cdot \epsilon_b \cdot \prod_p p^{min(\vartheta_p a,\vartheta_p b)} \cdot \prod_p p^{max(\vartheta_p a,\vartheta_p b)}=\epsilon_a \cdot \epsilon_b \cdot \prod_p p^{min(\vartheta_p a,\vartheta_p b)+max(\vartheta_p a,\vartheta_p b)}\\ =\epsilon_a \cdot \epsilon_b \cdot \prod_p p^{\vartheta_p a+ \vartheta_p b}=\epsilon_a \cdot \prod_p p^{\vartheta_p a} \cdot \epsilon_b \cdot \prod_p p^{\vartheta_p b}=a\cdot b \end{eqnarray}$ Edit: Zeilenumbruch eingefügt. Gruß, Reksilat.

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