Bestimmung aller ganzzahligen Zahlen die Gleichung erfüllen

01.07.2009, 07:19	zwerg	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung aller ganzzahligen Zahlen die Gleichung erfüllen Hi, ich habe folgende Aufgabe: Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen x uund y der Gleichung $\begin{eqnarray} 17x+37y=100 \end{eqnarray}$ Mein Lösungsansatz: Zuerst habe ich die Gleichung umgestellt: $\begin{eqnarray} 37y=100-17x \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} -37y = -100 mod 17 = -15 mod 17 \end{eqnarray}$ Dies habe ich mit dem euklidischen Algorithmus und dessen Erweiterung gelöst und da erhält man als Lösung $\begin{eqnarray} y=90 \end{eqnarray}$ Wie bekomme ich nun alle Lösungen von y und die dazugehörigen x?
01.07.2009, 09:13	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung aller ganzzahligen Zahlen die Gleichung erfüllen Nimm an, man habe zwei Lösungen $\begin{eqnarray} (x_1, y_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x_2, y_2) \end{eqnarray}$ der Gleichung, also $\begin{eqnarray} 17x_1+37y_1=100 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 17x_2+37y_2=100 \end{eqnarray}$ Jetzt bilde die Differenz der beiden Gleichungen. Was kannst du daraus folgern?
01.07.2009, 09:58	zwerg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung aller ganzzahligen Zahlen die Gleichung erfüllen wenn man die Differenz bildet, dann erhält man: $\begin{eqnarray} 17 \cdot (x_1-x_2)+37 \cdot (y_1-y_2)=0 \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} 17 \cdot (x_1-x_2) =-37 \cdot (y_1-y_2) \end{eqnarray}$ nun kann man ja schlussfolgern (weil ggT(17,37)=1): $\begin{eqnarray} x_1-x_2=0 mod 37 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_2-y_1=0mod17 \end{eqnarray}$ aber wie komme ich jetzt weiter?
01.07.2009, 10:18	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung aller ganzzahligen Zahlen die Gleichung erfüllen Man kann schlussfolgern: Wenn man eine beliebige Lösung von (1) $\begin{eqnarray} 17x+37y=0 \end{eqnarray}$ zu einer Lösung von (2) $\begin{eqnarray} 17x+37y=100 \end{eqnarray}$ addiert, erhält man wieder eine Lösung von (2). Es genügt also, die Gesamtheit der Lösungen von (1) zu finden. Und das ist mit Hilfe des KGV von 17 und 37 doch kein Problem.
01.07.2009, 10:25	zwerg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung aller ganzzahligen Zahlen die Gleichung erfüllen ahh, danke :-) Jetzt habe ich das verstanden.

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