Grenzwert Geometrische Summe

01.07.2009, 14:35

Hängemathe

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Grenzwert Geometrische Summe

Zu berechnen ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} a_n=\sum_{k=0}^{n-1}~(a+\frac{1}{n})^k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0<a<1 \end{eqnarray*}$

Nach der geometrischen Summe habe ich $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ wie folgt umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^n(1+\frac{1}{an})^n-1 }{a+\frac{1}{n}-1 } \end{eqnarray*}$

bleibt als letzter Schritt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a^n(1+\frac{1}{an})^n-1 }{a+\frac{1}{n}-1 } \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

Im Nenner würde erstmal (a-1) übrigbleiben und da $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ wegen a<1 mit zunehmendem n immer kleiner wird sollte oben nur noch -1 übrigbleiben und die Klammer würde mich nicht weiter interessieren.

Mein Ergebnis wäre also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-a} \end{eqnarray*}$

Ein Blick in die Lösung zeigt auch das selbe Ergebnis, allerdings steht dort formal noch:

$\begin{eqnarray*} \frac{0 \cdot e^{1/a}-1}{a-1}= \frac{1}{1-a} \end{eqnarray*}$

Wieso strebt die Klammer denn gegen $\begin{eqnarray*} e^{1/a} \end{eqnarray*}$ ?

01.07.2009, 14:38

tigerbine

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RE: Grenzwert Geometrische Summe
$\begin{eqnarray*} \exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac xn \right)^n \end{eqnarray*}$

01.07.2009, 14:51

Hängemathe

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Das habe ich so noch nicht gesehen. In meinem Skript finde ich nur $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{exp (x)}{x^n}= \infty \end{eqnarray*}$ , sehe aber jetzt noch nicht den Zusammenhang (falls es zwischen deiner und meiner Formel überhaupt einen gibt ) ?!?

Die Formel von mir sagt mir ja, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als die Potenzfunktion...

01.07.2009, 15:01

tigerbine

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a^n(1+\frac{1}{an})^n-1 }{a+\frac{1}{n}-1 } \end{eqnarray*}$

Du hast gefragt, warum gilt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{a \cdot n})^n = \exp(\frac{1}{a}) \end{eqnarray*}$

Darauf habe ich geantwortet. http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion

01.07.2009, 16:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von Hängemathe
Das habe ich so noch nicht gesehen. In meinem Skript finde ich nur $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{exp (x)}{x^n}= \infty \end{eqnarray*}$ , sehe aber jetzt noch nicht den Zusammenhang (falls es zwischen deiner und meiner Formel überhaupt einen gibt ) ?!?

Es gibt da keinen Zusammenhang. Die Exponentialfunktion wird üblicherweise definiert über entweder

$\begin{eqnarray*} \exp(x) := \sum_{k=0}^\infty\,\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \exp(x) := \lim_{n\to\infty}\,\left(1 + \frac x n\right)^n. \end{eqnarray*}$

In meinem Analysis-Buch wird sie über die erste Variante definiert. Im weiteren wird gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \exp(x) = \lim_{n\to\infty}\,\left(1 + \frac x n\right)^n \end{eqnarray*}$ gilt.

01.07.2009, 18:20

Hängemathe

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Hängemathe
Das habe ich so noch nicht gesehen. In meinem Skript finde ich nur $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{exp (x)}{x^n}= \infty \end{eqnarray*}$ , sehe aber jetzt noch nicht den Zusammenhang (falls es zwischen deiner und meiner Formel überhaupt einen gibt ) ?!?

Es gibt da keinen Zusammenhang. Die Exponentialfunktion wird üblicherweise definiert über entweder

$\begin{eqnarray*} \exp(x) := \sum_{k=0}^\infty\,\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

In meinem Skript steht der Grenzwert den ich gepostet habe als Schlussfolgerung (schließen sie daraus....) eben dieser Summe, die du gepostet hast.

@ Tigerbine:

Danke für den Verweis zu Wikipedia. ich wollte nur wissen ob es einen Zusammenhang zwischen dem gibt was du mir gezeigt hast du den vorhandenen Informationen aus meinem Skript !

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01.07.2009, 19:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von Hängemathe

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Hängemathe
Das habe ich so noch nicht gesehen. In meinem Skript finde ich nur $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{exp (x)}{x^n}= \infty \end{eqnarray*}$ , sehe aber jetzt noch nicht den Zusammenhang (falls es zwischen deiner und meiner Formel überhaupt einen gibt ) ?!?

Es gibt da keinen Zusammenhang. Die Exponentialfunktion wird üblicherweise definiert über entweder

$\begin{eqnarray*} \exp(x) := \sum_{k=0}^\infty\,\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

In meinem Skript steht der Grenzwert den ich gepostet habe als Schlussfolgerung (schließen sie daraus....) eben dieser Summe, die du gepostet hast.

Verstehe ich nicht.

01.07.2009, 19:38

Hängemathe

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Dort steht dass man aus $\begin{eqnarray*} \exp(x) := \sum_{k=0}^\infty\,\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ folgern soll, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{exp (x)}{x^n}= \infty \end{eqnarray*}$ gilt.

01.07.2009, 19:39

WebFritzi

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Achso. Also habt ihr wohl exp über die Reihe definiert.

01.07.2009, 19:40

tigerbine

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Aber darum ging es doch in dieser Aufgabe hier gar nicht.... verwirrt

verwirrt

Daher verstand ich auch deine Rückfrage auf meinen ersten Post nicht. Mit der Definition der e-Funktion, oder eben wie Webfritzi sagt, einem anschließenden Beweis ist diese Identität klar.

01.07.2009, 19:49

Hängemathe

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Richtig! Ich schrieb ja dass ich zur Lösung der Aufgabe in mein Skript geschaut habe, um die vorgegebene Lösung zu verstehen. Da dies so ziemlich das einzige war was ich diesbezüglich gefunden habe hatte ich es gepostet um von euch zu erfahren ob da ein Zusammenhang besteht ;-)

01.07.2009, 19:52

tigerbine

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Ok.

01.07.2009, 19:59

Hängemathe

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Noch ein letztes mal zurück zur Aufgabe:

Ich hätte die Aufgabe jetzt auch ohne diese Informationen richtig gelöst, da $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ mit a<1 und einem n das gegen unendlich strebt doch sowieso null ist und damit die Klammer nicht mehr weiter beachtet werden muss, oder?

Hätte ich die Definition der E-Funktion so gekannt hätte ich den Thread auch nicht eröffnet. Jetzt bin ich wieder ein wenig schlauer, aber der nächste nervige Thread von mir kommt bestimmt.

Wobei ich sagen muss dass ich eigentlich viele Aufgaben jetzt problemlos durchrechne, wo ich früher in die Röhre geguckt habe. Da ich zur Zeit sehr viel mache kommen aber dennoch immer wieder Unklarheiten auf :-/

01.07.2009, 20:06

tigerbine

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Zitat:

Hätte ich die Definition der E-Funktion so gekannt hätte ich den Thread auch nicht eröffnet.

Deswegen habe ich sie dir doch gepostet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

01.07.2009, 20:07

tmo

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Zitat:

Original von Hängemathe
Ich hätte die Aufgabe jetzt auch ohne diese Informationen richtig gelöst, da $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ mit a<1 und einem n das gegen unendlich strebt doch sowieso null ist und damit die Klammer nicht mehr weiter beachtet werden muss, oder?

Das stimmt so nicht. Hätte ja sein können, dass die Klammer gegen unendlich strebt, und zwar wohlmöglich genauso schnell oder gar schneller als $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ gegen 0.

01.07.2009, 20:22

Hängemathe

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Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Hätte ich die Definition der E-Funktion so gekannt hätte ich den Thread auch nicht eröffnet.

Deswegen habe ich sie dir doch gepostet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

Ich weiß, ich wollte damit nur noch mal zum Ausdruck bringen dass ich ohne die Information nicht weiterkam.

Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von Hängemathe
Ich hätte die Aufgabe jetzt auch ohne diese Informationen richtig gelöst, da $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ mit a<1 und einem n das gegen unendlich strebt doch sowieso null ist und damit die Klammer nicht mehr weiter beachtet werden muss, oder?

Das stimmt so nicht. Hätte ja sein können, dass die Klammer gegen unendlich strebt, und zwar wohlmöglich genauso schnell oder gar schneller als $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ gegen 0.

Gut zu wissen. Also darf ich bei solchen Berechnungen nicht einfach Terme vernachlässigen weil ein Faktor Null ist, wie man es sonst macht ?

01.07.2009, 20:58

WebFritzi

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Wenn an gegen Null geht und bn beschränkt ist, geht auch an * bn gegen Null.

02.07.2009, 10:28

Valdas Ivanauskas

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Häufig definiert man zunächst:

$\begin{eqnarray*} e := \lim_{n\to\infty}\,\left(1 + \frac 1 n\right)^n. \end{eqnarray*}$

Auf der Basis folgender Umformung wird dann der gesuchte Grenzwert offenbar:

$\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac x n\right)^n=\left( \underbrace{ \left(1 + \frac {1}{ \frac nx}\right)^{\frac nx}}_{\longrightarrow e}\right)^x. \end{eqnarray*}$

02.07.2009, 13:24

WebFritzi

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Und wie definierst du $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ für irrationales x? Das brauchst du dafür nämlich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.07.2009, 12:22

Hängemathe

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Ich habe den Thread nochmal rausgekramt weil ich nochmal über diese Aufgabe getroffen bin und eine ähnliche, wobei mich die Indizes etwas wurmen.

Die geometrische Summe ist in meinem Skript so definiert:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~x^k= \begin{cases}n+1, & \text{wenn }x = 1\\ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} & \text{wenn }x \neq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich mir das bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1} \frac{x^n-1}{x-1} \end{eqnarray*}$ zu Nutze machen und schreibe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1} \frac{x^n-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \sum_{k=-1}^{n-1}~x^k \end{eqnarray*}$

Da die Potenz dochvon k bis n läuft und nicht bis n+1 müsste ich in der Summe diese auch nur bis n-1 laufen lassen, oder? k sollte aber dennoch bei Null starten, da es hier ja keine Indexverschiebung oder so ist, sondern einfach nur ein Summand weniger, oder? Das habe ich wohl durcheinandergebracht im Eifer der Mathematik ?

17.07.2009, 12:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Hängemathe
k sollte aber dennoch bei Null starten, da es hier ja keine Indexverschiebung oder so ist, sondern einfach nur ein Summand weniger, oder?

Genau. Aber warum schreibst du dann k=-1 für die untere Summengrenze? verwirrt

verwirrt

17.07.2009, 14:03

Hängemathe

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Ich habe ja geschrieben dass dort eigentlich eine Null stehen müsste, ich beim letzten Mal aber das ganze mit der Indexverschiebung durcheinandergebracht habe und es dann so aufgeschrieben hatte Wink

Wink

17.07.2009, 14:24

klarsoweit

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Muß man das jetzt verstehen?

17.07.2009, 15:56

Hängemathe

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Was verstehst du denn nicht? Die Tatsache warum ich -1 in der Summe geschrieben habe oder den Inhalt meines letzten Beitrages?

17.07.2009, 16:08

klarsoweit

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Das mit der -1. Du schreibst die -1, obwohl du weißt, daß Null richtig ist, und erklärst irgendwie, daß du das deswegen machst, weil du es früher auch schon mal falsch gemacht hast.

Ach egal. Eigentlich ist die Diskussion müßig. Also da kommt eine Null hin und fertig.

17.07.2009, 16:16

Hängemathe

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Natürlich ist die Diskussion müßig. Ich probiere es noch ein mal: Als ich beim letzten Mal diese Aufgabe rechnete habe ich -1 eingesetzt weil ich es falsch gemacht hatte (siehe Begründung warum oben). Jetzt war ich mir 99,9% sicher das dort eine Null hin muss , habe auch noch mal alten Ansatz hingeschrieben. Das hat vielleicht verwirrt.

Naja, mit ein bisschen Glück seid ihr mich bald los :-)

17.07.2009, 22:06

WebFritzi

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Schade, dass du dich so ausdrückst, dass man dich tatsächlich nicht versteht.

18.07.2009, 10:15

Hängemathe

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Ich werde mir Mühe geben in Zukunft nicht für unnötige Verwirrung zu sorgen.

18.07.2009, 17:42

WebFritzi

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Freude

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