Isomorphie endlicher Körper Z/qZ

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01.07.2009, 15:55	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie endlicher Körper Z/qZ Habe nochmal eine kurze Verständinisfrage. Sei das Galoisfield, $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ gegeben. Wir wissen ja das es eine Isomorphie $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \cong \mathbb Z_q \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} q = p^m \end{eqnarray}$ existiert. Wenn ich nun einen Körper über einen beliebigen Galoiskörper konstruieren möchte, $\begin{eqnarray} z.B.: \mathbb F_q[x]/ g:=x^2+1 \end{eqnarray}$ wobei g ja irreduzibel ist, kann ich jetzt für mein "Standardvertretersystem" Koeffizienten aus $\begin{eqnarray} \mathbb Z_q \end{eqnarray}$ entsprechend auswählen? Was wäre denn die expliziten Elemente im Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ ???
01.07.2009, 16:18	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
Achtung Nachtrag: $\begin{eqnarray} \mathbb F_q[x]/g \end{eqnarray}$ wobei g definiert durch $\begin{eqnarray} g := x^2 +1 \end{eqnarray}$ wir rechnen also $\begin{eqnarray} mod \ x^2 + 1 \end{eqnarray}$
01.07.2009, 19:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment mal. $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \cong \mathbb Z_p = \mathbb Z / p \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist richtig. Weil $\begin{eqnarray} \mathbb Z_q=\mathbb Z_{p^m} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m>1 \end{eqnarray}$ Nullteiler hat, ist $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ davon völlig verschieden. Du mußt erst einmal die endlichen Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ verstehen, bevor du weitermachst. Und wenn du sie verstanden hast, ist deine Frage überflüssig.
01.07.2009, 21:44	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja. Nach Skript gilt $\begin{eqnarray} char(L) := p\ fuer\ k\cong \mathbb F_p \end{eqnarray}$ wobei L ein Körper und k der kleinste Unterkörper, der Primkörper ist. Es folgt $\begin{eqnarray} L \supset k:=h(\mathbb Z)\cong \mathbb Z/p\mathbb Z = \mathbb F_p \end{eqnarray}$ für den Homomorphismus $\begin{eqnarray} h:\mathbb Z \rightarrow \L\ \ker(h) = p \mathbb Z \end{eqnarray}$ , das würde ja aber bedeuten das die Elemente aus dem endlichen Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ genau dieselben Restklassen wie aus $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$ sind???
01.07.2009, 22:49	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist nicht $\begin{eqnarray} m=1 \end{eqnarray}$ , da magst du in allem recht haben. Elvis hat explizit $\begin{eqnarray} m>1 \end{eqnarray}$ angesprochen, und für den Fall stimmt die von dir behauptete Isomorphie $\begin{eqnarray} \mathbb F_{p^m} \cong \mathbb Z_{p^m} \end{eqnarray}$ einfach nicht.
02.07.2009, 00:47	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann sagt mir doch einfach mal wie so ein Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q = p^m\ p\in \mathbb P, m>1 \end{eqnarray}$ explizit aussieht? Will doch nur mal ein konkretes Beispiel.
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02.07.2009, 02:57	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
F_q ist der Zerfällungskörper von x^q-1 in F_p
02.07.2009, 14:14	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie wähle ich dann die Koeffizienten aus $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ wenn ich einen Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_q[x]/g \end{eqnarray}$ entsprechend konstruieren muss? Gebt doch einfach mal explizit ein paar Elemente an.
02.07.2009, 14:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwechslung F_q[x] <--> F_p[x] ? Du redest die ganze Zeit von $\begin{eqnarray} \mathbb F_q[x]/g \end{eqnarray}$ , was mich ein wenig verwirrt: Meinst du nicht eher $\begin{eqnarray} \mathbb F_p[x]/g \end{eqnarray}$ mit einem irreduziblen Polynom $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ der Ordnung $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ - alles zum Zwecke der Konstruktion von $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ ?
02.07.2009, 14:58	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Arthur, du hast Recht Meine Aufgabe bezieht sich ja auf $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ dann ist ja klar dass die Isomorphie $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \cong \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ existiert. Nun wähle ich Koeffizienten aus $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ und kann leicht $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 / g \end{eqnarray}$ konstruieren?? Das müsste dann passen. D.h. aus der Isomorphie kann ich als Standard vertreter dann $\begin{eqnarray} [0], [1], [2] \end{eqnarray}$ wählen.
02.07.2009, 20:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit hast du $\begin{eqnarray} \mathbb F_3=\mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Jetzt wählst du eine Nullstelle von $\begin{eqnarray} g(X)=X^2+1 \end{eqnarray}$ aus dem Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} g(X)\in\mathbb F_3[X] \end{eqnarray}$ , also ein $\begin{eqnarray} i\in\mathbb F_3[X]/g(X) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i^2=-1=2\in\mathbb F_3 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \lbrace1,i\rbrace \end{eqnarray}$ eine Basis des Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb F_9\cong(\mathbb F_3)^2 \end{eqnarray}$ , und die Elemente diese Körpers sind $\begin{eqnarray} \mathbb F_9=\lbrace 0,1,2,i,1+i,2+i,2i,1+2i,2+2i \rbrace \end{eqnarray}$ , und das sind genau 9 Zahlen. Wenn du verstehen willst, was da passiert, kannst du die Gruppentafeln $\begin{eqnarray} (\mathbb F_9,+) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\mathbb F_9^,\cdot) \end{eqnarray*}$ aufstellen.

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