Hauptsatz über implizite Funktion

01.07.2009, 17:12	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptsatz über implizite Funktion Hallo, Bevor ich die Aufgabe nennen will und meine eigenen Ansätze dazu schreibe, habe ich noch grundsätzliche Fragen. Ich kann den Satz über implizite Funktionen nicht von dem Umkehrsatz unterscheiden, bei dem Umkehrsatz bin ich mir auch nicht sicher was ich damit wirklich anfangen kann. Also wir haben den HSIF (Hauptsatz über implizite Funktionen) so definiert: Vorraussetzung: $\begin{eqnarray} \cdot \quad G \in \mathbb R^p \quad , H \in \mathbb R^q \end{eqnarray}$ nicht leer und offen $\begin{eqnarray} \cdot \quad F \in C^1(G \times H; \mathbb R^q) \end{eqnarray}$ Es gibt $\begin{eqnarray} \xi \in G, \eta \in H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F(\xi,\eta) = 0, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_y(\xi, \eta) \end{eqnarray}$ ist invertierbar, d.h. $\begin{eqnarray} \det F_y \neq 0 \end{eqnarray}$ Behauptung: Es gibt eine Umgebung $\begin{eqnarray} U:= U_\delta(\xi) \subset G; V:=V_\varepsilon(\eta) \subset H \end{eqnarray}$ und genau eine stetige Funktion $\begin{eqnarray} f: U \rightarrow V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(\xi)=\eta ,\quad F(x,f(x))=0 \end{eqnarray}$ Also ich sehe die Anwenung in 2 Sachen, einmal will man wissen ob es eine Umkehrfunktion gibt und man kann Gleichungssysteme lösen mit weniger Zeilen als Spalten, also man hat n implizite Gleichungen und m Variablen (m>n). Den Umkehrsatz kann ich nicht wirklich zuordnen, vielleicht schafft er die Grundlage für Extrema unter Nebenbedingungen. Also zur Aufgabe: Untersuchen Sie, ob durch die Gleichungen $\begin{eqnarray} x+y-\sin z = 0, \quad e^z -x -y^3=1 \end{eqnarray}$ in einer Umgebung von x=0 zwei Funktionen y(x), z(x) mit y(0)=z(0)=0 definiert werden und ob sie, wenn dies der Fall ist, bei x=0 lokale Extrema besitzen. Also ich suche einen Punkt, der beide Gleichungssysteme erfüllt. Aus x=0, y(0)=z(0)=0 folgt schon aus der Aufgabenstellung: $\begin{eqnarray} (x_0,y_0,z_0)=(0,0,0) \end{eqnarray}$ Jetzt schau ich mir die Determinante der Jacobi Matrix an unter festen x: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & -\cos z \\ -3y^2 & e^z \end{vmatrix} = e^z -3z^2 \cos z ~\|_{(x,y,z)=(0,0,0)} = 1 \neq 0 \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich aus der Vorraussetzung, dass die Funktionen invertierbar sind - dh. man kann sie nach y bzw z auflösen und y(x) und z(x) existieren. So jetzt weiß ich noch dass die Funktion y(x) bzw z(x) differenzierbar ist, wenn die impliziten Funktionen es auch sind. Aber ich weiß nicht weiter wie ich Aussagen über die lokalen Extrema bei x=0 treffen soll. Danke schonmal für eure Hilfe.

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