Summe im Nenner einelementig machen

19.09.2006, 16:31

Arcus Tangens

Summe im Nenner einelementig machen

Hallo,
welcher Rechenweg führt dazu, dass hier aus (n+1) im Nenner plötzlich nur noch n dasteht?

$\begin{eqnarray*} $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty\ \frac{1}{n+1}=\ -1\ +\ \sum\limits_{n=1}^\infty\ \frac{1}{n}$ \end{eqnarray*}$

Grüße,
Arcus Tangens

19.09.2006, 16:39

pfnuesel

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RE: Summe im Nenner einelementig machen
Hallo

Du kannst eine unendliche Summe so umformen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Einverstanden?

19.09.2006, 17:52

Arcus Tangens

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RE: Summe im Nenner einelementig machen
Hallo pfnuesel,
vielen Dank, da hab bin ich wohl etwas aufm Schlauch gestanden :-)
Das mit der Summe is mir jetzt klar.
Aber noch mal generell, gibt es einen Weg, um von $\begin{eqnarray*} $\dfrac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ den Nenner aufzuteilen, so dass nur noch n drinsteht? Beim konjugiert komplex Erweitern mit komplexen Zahlen funktioniert das, nur ich dachte, mal was gelernt zu haben, dass sowas auch mit rein reellen Nennern wie (n+1) irgendwie machbar wäre...

19.09.2006, 18:03

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Meinst du vielleicht "Indexverschiebung": Für eine beliebige Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=a}^b ~ g(n+1) = \sum\limits_{m=a+1}^{b+1} ~ g(m) \end{eqnarray*}$

indem du einfach $\begin{eqnarray*} m=n+1 \end{eqnarray*}$ substituierst. Natürlich kannst du rechts dann auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=a+1}^{b+1} ~ g(n) \end{eqnarray*}$ schreiben denn die Bezeichnung des Summationsindex ist ja beliebig, solange er nicht mit anderen Bezeichnungen kollidiert.

19.09.2006, 18:51

pfnuesel

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RE: Summe im Nenner einelementig machen

Zitat:

Original von Arcus Tangens
Aber noch mal generell, gibt es einen Weg, um von $\begin{eqnarray*} $\dfrac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ den Nenner aufzuteilen, so dass nur noch n drinsteht? Beim konjugiert komplex Erweitern mit komplexen Zahlen funktioniert das, nur ich dachte, mal was gelernt zu haben, dass sowas auch mit rein reellen Nennern wie (n+1) irgendwie machbar wäre...

Evt. meinst du die Partialbruchzerlegung. Die ist in diesem Fall aber nicht möglich!

26.09.2006, 16:40

Arcus Tangens

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ja, genau, das war die Partialbruchzerlegung. Und die ist in diesem Fall nicht anwendbar, weil der Nenner keinem Binom entspricht.

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Summe im Nenner einelementig machen

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