Frage zu den Funktionen für die Hesse Matrix

01.07.2009, 23:48

Eva-S

Frage zu den Funktionen für die Hesse Matrix

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zur Hesse Matrix:

[attach]10863[/attach]

Wie berechne ich die Funktion für $\begin{eqnarray*} \frac{d²f}{dxdy} \end{eqnarray*}$ ?

Ist das die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} \end{eqnarray*}$ ?

Ich hoffe ich konnte mich soweit verständlich ausdrücken?

02.07.2009, 00:42

mYthos

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Es ist die Ableitung, allerdings jene nach x.
Exakt gilt bei $\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} \end{eqnarray*}$ : Die Funktion f ist zuerst partiell nach x und dann dieses Ergebnis nach y abzuleiten. Es kommt dabei meist (!) nicht auf die Reihenfolge an. Also wenn man zuerst nach y und dann nach x ableitet, ändert es nichts am Ergebnis.

mY+

02.07.2009, 01:13

Eva-S

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Vielen Dank, das hilft mir schon sehr weiter.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} \end{eqnarray*}$
bedeutet sozusagen erst nach x ableiten, dann nach y und
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x} \end{eqnarray*}$
bedeutet dann zuerst nach y ableiten und dann nach x.

Hat man richtig gerechnet findet sich bei der Hesse Matrix oben rechts und unten links die gleiche Funktion, richtig?

02.07.2009, 02:56

WebFritzi

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Zitat:

Original von Eva-S
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} \end{eqnarray*}$
bedeutet sozusagen erst nach x ableiten, dann nach y und
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x} \end{eqnarray*}$
bedeutet dann zuerst nach y ableiten und dann nach x.

Ich würde eher sagen, andersherum. Aber das ist Definitionssache. Ansonsten noch der Link zum nicht benannten Satz: http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Schwarz .

Zitat:

Original von Eva-S
Hat man richtig gerechnet findet sich bei der Hesse Matrix oben rechts und unten links die gleiche Funktion, richtig?

Richtig. Oder anders formuliert: Die Hesse-Matrix ist im Allgemeinen symmetrisch.

13.09.2009, 08:21

Eva-S

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Zitat:

Original von WebFritzi
Ich würde eher sagen, andersherum. Aber das ist Definitionssache.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$

bedeutet aber doch nach x ableiten, oder?
Also müsste es doch schon so richtig sein wie ich sagte!?

13.09.2009, 08:27

eierkopf1

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Ja, das bedeutet partiell nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableiten.

Aber die Reihenfolge ist Definitionssache:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} \end{eqnarray*}$
Entweder zuerst nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und dann nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$
oder zuerst nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und dann nach $\begin{eqnarray*} x. \end{eqnarray*}$
Es kommt auf eure Definition an.

13.09.2009, 08:57

Eva-S

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$\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} \end{eqnarray*}$

Ich hatte es im vom Prof so aufgefasst das dies zuerst nach x ableiten und danach nach y ableiten bedeutet.

In der Hesse Matrix oben leite ich also "oben rechts" zuerst nach x und dann nach y ab und "unten links" zuerst nach y und dann nach x.

Diese beiden Werte sollten so immer gleich sein (nochmal um seine eigenen Rechnung zu überprüfen), sind sie es nicht hat man bei einem von beiden falsch abgeleitet.

Kann man das so stehen lassen?

13.09.2009, 11:53

Romaxx

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Zitat:

Original von Eva-S
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} \end{eqnarray*}$

Ich hatte es im vom Prof so aufgefasst das dies zuerst nach x ableiten und danach nach y ableiten bedeutet.

In der Hesse Matrix oben leite ich also "oben rechts" zuerst nach x und dann nach y ab und "unten links" zuerst nach y und dann nach x.

Wie schon mehrmals wiederholt wurde, ist das Definitionssache. Wenn ihr das so definiert habt, stimmt das.

Zitat:

Diese beiden Werte sollten so immer gleich sein (nochmal um seine eigenen Rechnung zu überprüfen), sind sie es nicht hat man bei einem von beiden falsch abgeleitet. Kann man das so stehen lassen?

Nein. Wenn die Werte nicht gleich sind, kann das auch richtig abgeleitet sein. Die Hessematrix ist nicht unter allen Umständen symmetrisch. Es gibt mehrere hinreichende Kriterien, das die Hessematrix symmetrisch ist, z.b. alle partiellen Ableitungen sind stetig.

Schau dir mal folgende Funktion an.

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{cases}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\;\;\;, & x^2+y^2=0 \\0 \;\;\;,& x=y=0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Berechne hier $\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}\Big|_{(0,0)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}\Big|_{(0,0)} \end{eqnarray*}$

13.09.2009, 12:00

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Eva-S
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} \end{eqnarray*}$

Wenn man dies etwas genauer ausschreibt, würde ich es nach der mir bekannten Konvention so darstellen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}f\right) \end{eqnarray*}$ .

Deswegen ist es normalerweise konventionsgemäß so, dass bei $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \end{eqnarray*}$ zuerst nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und dann nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abgeleitet wird. Du bist wahrscheinlich darauf gekommen, dass man zuerst nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableitet, weil das $\begin{eqnarray*} \partial x \end{eqnarray*}$ im Nenner als erstes da steht. Allerdings werden ja z.B. Verkettungen von Funktionen auch in der Form $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ geschrieben und es bedeutet aber, dass zuerst $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und dann erst $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ angewendet wird. Das obige Beispiel lässt sich auch so interpretieren, wobei hierbei die beiden Differentialoperatoren $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y} \end{eqnarray*}$ verkettet werden.

13.09.2009, 19:08

Eva-S

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Zitat:

Original von Romaxx
Berechne hier $\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}\Big|_{(0,0)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}\Big|_{(0,0)} \end{eqnarray*}$

Was bedeutet bitte dieses
$\begin{eqnarray*} ...\Big|_{(0,0)} \end{eqnarray*}$

???

Das habe ich bisher noch nie gesehen!

13.09.2009, 19:37

Romaxx

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Das sagt dir, das du die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x} \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ auswerten sollst.

Grüße

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