Wie oft? |
| 06.06.2004, 18:14 | JudgeNot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Wie oft? Ich hab ein kleines Problem: Kommt die Zahl 12345678910111213141516171819.... in sich selbst vor? Und wenn ja, wie oft? |
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| 06.06.2004, 19:31 | Steve_FL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
hm...gute Frage 
Ich bin nicht sicher, aber ich denke nicht, dass die in sich vorkommt. Denn um in sich vorzukommen, müsste sie ja mal von vorne beginnen und bis zu einem Schluss kommen und danach müsste die um 1 grössere Zahl kommen, was aber mMn nicht möglich ist 
bin mir aber nicht sicher mfg |
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| 06.06.2004, 19:35 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Also einmal kommt sie ja schonmal in sich vor und zwar gleich am Anfang.
Wenn sie mehr als einmal in sich vorkäme, wäre sie periodisch, d.h. diesselbe endliche Ziffernfolge würde sich unendlich oft wiederholen. Ich vermute, dass sie nicht periodisch ist. Steves Idee bringt mich auf eine gute Idee: Nehmen wir mal an, die Ziffernfolge wäre periodisch mit kleinster Periode k. Die ersten k Ziffern dieser Folge bilden eine natürliche Zahl. Diese k-stellige natürliche Zahl tritt irgendwo in der Zifferfolge auf, direkt gefolgt von ihrem Nachfolger, die eine andere k-stellige Zahl ist - im Widerspruch dazu, dass die Periodenlänge k ist. Im Gegensatz dazu kommt aber jedes endliche Anfangsstück unendlich oft in dieser Ziffernfolge vor (nicht periodisch). |
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| 06.06.2004, 19:38 | Steve_FL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
hm...ok, dieses eine mal wollte ich weglassen 
bin aber froh, dass ich ansonsten nicht sehr falsch gedacht habe 
mfg |
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| 06.06.2004, 19:40 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Untertreib mal nicht. Nicht sehr falsch...
Das ist doch vollkommen richtig! |
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| 07.06.2004, 00:10 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wie argumentierst du denn, dass der Nachfolger ein anderer ist? |
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| 07.06.2004, 11:38 | JudgeNot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Bin mir da nicht so sicher. Die Zahl entsteht ja, indem man alle natürlichen Zahlen nacheinander anschreibt. Allerdings ist sie ja auch selbst eine natürliche Zahl 
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| 07.06.2004, 14:33 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Der Nachfolger hat mindestens eine andere Einerstelle als die Zahl. Da die Zahl mit 123456789101112... beginnt, hat ihr Nachfolger ebenfalls k Stellen, die beiden Einerstellen haben also den Abstand k und sind verschieden. @JudgeNot: Diese Ziffernfolge, die du da konstruierst, ist sicher KEINE NATÜRLICHE ZAHL. |
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| 07.06.2004, 14:37 | sumbody | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
is es denn noch ne zahl, wenn die immer weiter und weiter geht? also wenn die gegen pos.unendlich geht, dann kommt die doch gar nicht in sich selbst vor... um einmal in sich selbst vorzukommen müsste sie durch sich selber teilbar sein,z.b. 3/3=1 aber unendlich/unendlich geht doch glaube ich gar nicht... entweder war das gerade ziehmlich schlau kombiniert oder unheimlich blöde... der fachidiot ;-) war schneller... |
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| 07.06.2004, 14:42 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Und sumbody, was meinst du? Kann eine natürliche Zahl gegen unendlich konvergieren? Kann eine natürliche Zahl überhaupt konvergieren? Wie müsste eine Folge natürlicher Zahlen aussehen, die konvergiert? Natürliche Zahlen kommen für gewöhnlich nur ein einziges Mal in sich vor, nämlich da wo sie gerade sind: 34 kommt in 34 an dieser Stelle vor: 34. Bei unendlich langen Ziffernfolgen kann das anders aussehen: Die Ziffernfolge 123456789012345678901234567890... kommt alle 10 Ziffern in sich selbst vor. Diese Ziffernfolge ist aber auch keine natürliche Zahl. |
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| 07.06.2004, 15:51 | sumbody | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ich weiss das der grenzwert einer natürlichen zahl bei der zahl selbst liegt... lim 5 =5 x-> unendlich wüsste nicht wo da noch ein anderer grenzwert herkommen sollte... und da alle natürlichen zahlen diese eigenschaft haben, is es doch nur normal das eine aneinanderreihung der zahlen die selbe eigenschaft hat. hmm... aber das geht ja nur wenn das endlich ist!? -> zahlen sind endlich -> alles was unendlich ist kann keine zahl sein (behaubt ich mal) -> die 'unendlichlange zahl' kann man nie aus schriebe, also sag ich einfach mal, dass das da oben nur eine dumme schreibweise für: lim f(x) = unendlich x-> unendlich also lim f(x) = 123456789101112131415161718192021...55565758....usw. x-> unendlich ist. und die fkt.werte sehen halt einfach nur wie die aneinanderreihung natürlicher zahlen aus... ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- wenn ich einen teil herausnehme 123456789101112131415161718192021... wiederholt der sich wenn man 1234 ,11234,21234,31234, ... u.s.w.dranhängt, wohlt ich nur sagen... |
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| 07.06.2004, 16:10 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das ist mathematisch nur fast richtig. Bei diesem Limes-Ausdruck interpretierst du die "5" als Funktion von x, oder als Folge, deren Indizes x durchläuft. In beiden Fällen ist die "5" nicht einfach nur eine Zahl. Eine Zahl selbst hat keinen Grenzwert. Weniger formell interpretiert man aber durchaus eine Zahl mit der konstanten Folge, deren Glieder alle gleich dieser Zahl sind, oder mit der Funktion, die konstant diese Zahl liefert. Und diese Folge bzw. Funktion hat einen Grenzwert, der gleich der Zahl ist.
Da musst du aufpassen, ob das unendlich lange vor dem Komma oder nach dem Komma ist - unendlich lange Ziffernfolgen vor dem Komma ergeben keine Zahlen (jedenfalls nicht solche, die wir in der Schule kennen). Unendlich lange Ziffernfolgen nach dem Komma sind gerade ein Charakteristikum reeller Zahlen (egal ob diese Ziffernfolge jetzt periodisch ist oder nicht).
Ja, so ähnlich könnte man das schreiben. Wir haben hier also eine Funktion, die zu jeder natürlichen Zahl eine Ziffernfolge liefert, die man als natürliche Zahl auffassen kann. Zum Beispiel ist f( 58 ) = 123456789101112...565758 Die Frage ist nun, ob der Limes von f(x) für x gegen unendlich existiert. Da die Zahlen immer größer werden (und zwar beim Wechsel von x nach x+1 mindestens um den Faktor 10), existiert der Limes nicht als natürliche Zahl. Aber der Limes existiert als Ziffernfolge, da die n-te Ziffernfolge f(n) ein Anfangsstück der (n+1)-Ziffernfolge f(n+1) ist. Dieser "Grenzwert" ist also die unendlich lange Ziffernfolge 12345678910111213... Das ist keine Zahl mehr. Und deshalb sprechen Irrlicht und ich die ganze Zeit von einer Ziffernfolge.
Ja, das ist richtig. Es gilt aber nicht nur, was du und Irrlicht festgestellt habt:
Sondern sogar jede endliche Ziffernfolge, auch wenn sie kein Anfangsstück ist, tritt unendlich oft in der Ziffernfolge auf. |
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