bedingter Erwartungswert

02.07.2009, 15:25

hxh

bedingter Erwartungswert

Hallo,

ich hab da mal eine Frage zu einem Beweis.

$\begin{eqnarray*} x \in L_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathcal T_1 \subset \mathcal T_2 \subset \mathcal A \end{eqnarray*}$
dann gilt : $\begin{eqnarray*} E[x|\mathcal T_1]= E[E[x|\mathcal T_2] | \mathcal T_1 ] \end{eqnarray*}$

ich definiere mir $\begin{eqnarray*} z=E[E[x|\mathcal T_2] | \mathcal T_1 ] \end{eqnarray*}$ , z ist dann ja eine Zufallsvariable für die gilt.
1. $\begin{eqnarray*} \mathcal A_z \subset T_1 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \forall T \in \mathcal T_1 : E[1_{T} z]= E[1_{T} E[x|\mathcal T_2] ] \end{eqnarray*}$

Also ist z die bedingte Erwartung von $\begin{eqnarray*} E[x|\mathcal T_2] \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \mathcal T_1 \end{eqnarray*}$

Darf ich das ?

Dann gilt ja $\begin{eqnarray*} E[ 1_{T} z]= E[1_{T} E[E[x|\mathcal T_2] | \mathcal T_1 ]] = E [ 1_{T} E[x|\mathcal T_2]] = E [1_{T} x] = E [ 1_{T} E[x|\mathcal T_1 ] ] \end{eqnarray*}$

1. Gleichheitszeichen einfach eingesetzt
2. weil ja gilt $\begin{eqnarray*} E( E(x|y) )= E(x) \end{eqnarray*}$
3. weil T wenn in T1 auch in T2

ist das so korrekt ?

02.07.2009, 15:56

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hxh
Darf ich das ?

Ja klar, bisher geht es ja nur streng nach Definition der bedingten Erwartung[/quote]

Zitat:

Original von hxh
Dann gilt ja $\begin{eqnarray*} E[ 1_{T} z]= E[ E[E[x|\mathcal T_2] | \mathcal T_1 ]] \end{eqnarray*}$

Wo ist denn rechts die Menge $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ abgeblieben? So ist das sicher falsch.

Mir ist auch nicht ganz klar, was du hier mit den ellenlangen ineinandergeschachtelten Ausdrücken bezweckst? Irgendein konkretes Ziel kann ich bisher nicht erkennen. verwirrt

02.07.2009, 16:04

hxh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: bedingter Erwartungswert
Das hier wollte ich zeigen.

$\begin{eqnarray*} E[x|\mathcal T_1]= E[E[x|\mathcal T_2] | \mathcal T_1 ] \end{eqnarray*}$

Naja mir ist nichts besseres eingefallen, darum bin ich ja strikt nach definition gegangen

02.07.2009, 16:16

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, Ok, jetzt verstehe ich. Mit deiner Korrektur oben ist es jetzt richtig. Ich würde nur nochmal besonders hervorheben, dass man an der Stelle

Zitat:

Original von hxh
$\begin{eqnarray*} E [ 1_{T} E[x|\mathcal T_2]] = E [ 1_{T} x] \end{eqnarray*}$

die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \mathcal T_1 \subset \mathcal T_2 \end{eqnarray*}$ einsetzt, denn für beliebige $\begin{eqnarray*} \mathcal T_2 \end{eqnarray*}$ gilt das nicht, da man hier zumindest $\begin{eqnarray*} T\in \mathcal T_2 \end{eqnarray*}$ benötigt.

02.07.2009, 16:29

hxh

Auf diesen Beitrag antworten »

ja du hast recht, ich habs verwendet , zwar auch geschrieben aber das überliest man recht schnell so.

Im Grunde braucht man bei den meisten der Eigenschaftsbeweise des bed. EW nur mit der Definition arbeiten ?

02.07.2009, 16:33

Auf diesen Beitrag antworten »

Solche Aussagen sind mir zu pauschal.

Neue Frage »

Antworten »

bedingter Erwartungswert

Verwandte Themen