Symbole hexagonales/quadratisches Gitter

02.07.2009, 21:12	Iridium	Auf diesen Beitrag antworten »
Symbole hexagonales/quadratisches Gitter Hi, Ich möchte in einem Text über zweidimensionale hexagonale und quadratische Gitter eindeutig definierte Symbole dafür verwenden. Laut Conway & Sloane (Sphere packings, lattices and groups) kann man im Falle des zweidimensionalen hexagonalen Gitters auch vom $\begin{eqnarray} A_{2} \end{eqnarray}$ Gitter sprechen und $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}^{2} \end{eqnarray}$ würde entsprechend das zweidimensionale quadratische Gitter beschreiben. So dachte ich jedenfalls. Allerdings hat mir jetzt jemand gesagt, das Gitter $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}^{2} = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} = A_{1} \times A_{1} \end{eqnarray}$ besäße keine Metrik und keine euklidische Symmetrie (d.h. vor allem nicht die quadratische) und das zweidimensionale Quadratgitter wäre besser mit dem Symbol $\begin{eqnarray} B_{2} \end{eqnarray}$ beschrieben. Ich bin jetzt etwas verwirrt, weil in der Literatur durchaus auch vom Quadratgitter $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}^{2} \end{eqnarray}$ die Rede ist (als zweidimensionales Beispiel der ganzzahligen Gitter $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}^{n} \end{eqnarray}$ , Conway & Sloane meint dazu z.B. " $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}^{2} \end{eqnarray}$ is better called the square lattice") andererseits aber im Zusammenhang mit Wurzelsystemen und -gittern beschrieben wird, daß im Fall $\begin{eqnarray} A_{1} \times A_{1} \end{eqnarray}$ die zwei Basisvektoren nicht dieselbe Länge haben müssen, d.h. insbesondere kein quadratisches Gitter aufspannen müssen, wohingegen dies im Wurzelsystem $\begin{eqnarray} B_{2} \end{eqnarray}$ geometrisch zwingend ist. Anscheinend werden ja auch dieselben Symbole benutzt, je nachdem ob man ein Wurzelsystem, ein (Wurzel-)Gitter oder eine einfache Lie-Gruppe bzw. Lie-Algebra bezeichnet? (vermutlich weil das alles so eng miteinander zusammenhängt und Gitter als Untergruppen aufgefasst werden können?). Auf jeden Fall habe ich auch die Unterscheidung gefunden, nachdem das Wurzelsystem $\begin{eqnarray} B_{2} \end{eqnarray}$ (die Lie-Gruppe?) mit dem Wurzelgitter $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}^{2} \end{eqnarray}$ assoziiert wird. Was stimmt denn nun? Kann mir da jemand die Zusammenhänge erklären und mir erläutern was mathematischer Slang ist und was genau definiert und wie man sich eindeutig ausdrückt? Sind die Unklarheiten eventuell dadurch erklärbar, daß sich einige Autoren nur auf das (Wurzel-)Gitter beziehen und andere stillschweigend die Symmetrie des Gitters miteinbeziehen, d.h. das Wurzelsystem meinen?
03.07.2009, 11:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, ob man hier bei Symboldeutungen von "stimmt das?" überhaupt sprechen kann. Jedes ordentliche Buch besitzt eine Legende, wo die verwendeten Symbole erklärt werden. Dass diese Symboledeutungen bei solchen speziellen Themen autorübergreifend immer dieselben sind, ist ein schöner Wunschtraum, der der Realität nicht standhält.
03.07.2009, 18:43	Iridium	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das seh ich schon ein. Nichtsdestotrotz muß es doch so etwas wie einen mathematischen Konsens darüber geben, ob man das Quadratgitter als $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}^{2} \end{eqnarray}$ beschreibt, oder ob diese Notation mathematisch schlecht begründet ist bzw. widersprüchlich verstanden werden kann? Bitte, raub mir jetzt nicht die Illusion, wenigstens die Mathematiker würden auf strenge Definition und einheitliche Notation etwas geben (von einem Physiker würde ich nichts anderes erwarten :-) ). Also, stimmt das Argument, daß mit der Formulierung als $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}^{2} \end{eqnarray}$ strenggenommen kein Quadratgitter definiert wird, sondern ganz allgemein nur ein Rechtecksgitter, oder stimmt das nicht? Ich hatte es bisher so verstanden, daß $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ die Menge der ganzen Zahlen repräsentiert und daher $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}^{n} \end{eqnarray}$ immer ein in allen Dimensionen gleich ausgedehntes "kubisches" Objekt beschreibt, d.h. für n = 2 ein Quadratgitter, für n = 3 ein kubisch primitives Gitter, für n = 4 ein primitives hyperkubisches Gitter usw.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »