Exponentialreihe gleichmäßige Konvergenz

02.07.2009, 20:00	Baii	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialreihe gleichmäßige Konvergenz Hi, ich sitze hier schon seit Ewigkeiten an einer Aufgabe, habe aber absolut keinen Ansatz, vielleicht könnt ihr mir ja einen Tipp geben Hier ist die Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} f_n(z)=\sum_{k=0}^n~\frac{z^k}{k!} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} z\in \mathbb C \end{eqnarray}$ . Dadurch wird eine Folge von Polynomen $\begin{eqnarray} f_n:\mathbb C \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray}$ definiert. Zeigen Sie, dass für jedes $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ , die Folge $\begin{eqnarray} (f_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ auf der Scheibe $\begin{eqnarray} D_r=\{z\in\mathbb C:\|z\|\leq r\} \end{eqnarray}$ gleichmäßig gegen die Exponentialfunktion konvergiert. haben als Tipp bekommen, dass $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0 \!\ \exists N\in\mathbb N, sodass \left\| f_n(z)-exp(z)\right\|<\epsilon \!\ \forall n \geq N \forall x \in D_r \end{eqnarray}$ Nun weiß ich nicht, was das mit der Scheibe auf sich haben soll und wie ich damit hantieren muss.
02.07.2009, 20:12	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ist wichtig, was ihr schon wisst. Dieses Verhalten gilt nicht nur speziell für die Exponentialfunktion. Tatsächlich konvergiert jede Potenzreihe absolut und gleichmäßig auf jeder kompakten Menge, die in ihrem Konvergenzkreis liegt. Wisst ihr das schon? Wie habt ihr die Exponentialfunktion überhaupt definiert?
02.07.2009, 20:19	Baii	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, das wissen wir alles noch nicht, aber bei unserem Professor ist das normal so, wir sollen uns die Sachen selber aneignen, meint er. die Exponentialreihe haben wir so definiert: $\begin{eqnarray} \exp(x)=\sum_{n=0}^\infty~\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray}$

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