Summation

03.07.2009, 10:22

Sunny509

Summation

Hallo

ich verstehe diese Umformung eines Beweises nicht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=j}^\infty ~(kh-jh)f_k = h\sum_{k=j}^\infty~ \sum_{m=0}^{k-j-1}~f_k = h\sum_{m=0}^\infty~ \sum_{k=m+j+1}^{\infty}~f_k= h\sum_{m=0}^\infty~(1-F_s[(m+j)h]) \end{eqnarray*}$

Mein Prof hat uns den Hinweis gegeben, dass es was mit abelscher partieller Summation zu tun hat, aber leider komme ich damit auch nicht weiter...

Vielen Dank für Hilfe!

03.07.2009, 10:51

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim ersten Gleichheitszeichen wird einfach genutzt, dass die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{k-j-1} \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} (k-j) \end{eqnarray*}$ Summanden hat, d.h., es ist dann

$\begin{eqnarray*} k-j = \sum_{m=0}^{k-j-1} 1 \end{eqnarray*}$ .

Beim zweiten Gleichheitszeichen wird lediglich die Summationsreihenfolge $\begin{eqnarray*} m \leftrightarrows k \end{eqnarray*}$ vertauscht, was genau genommen bei Reihen nicht ganz unproblematisch ist - aber vielleicht sind ja deine $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ alle nichtnegativ...

Beim letzten Gleichheitszeichen wird anscheinend ein zwischen $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_s[\cdot] \end{eqnarray*}$ bestehender Zusammenhang verwendet, den du uns hier nicht verraten hast.

03.07.2009, 11:06

Sunny509

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay vielen Dank das hat schonmal weitergeholfen. Ja die Voraussetzungen waren: $\begin{eqnarray*} P(S=kh) = f_k \geq 0 \end{eqnarray*}$ (also eine Dichtefunktion) und $\begin{eqnarray*} P(S=x) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle anderen x.

Könntest du das mit dem Vertauschen der Summationsreihenfolge noch weiter erläutern? Ich weiß zwar dass man die Summenzeichen vertauschen kann aber wie kommt man auf die neuen Grenzen?

Danke nochmal!

03.07.2009, 11:12

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dir nur klarwerden, über welche geordneten Paare $\begin{eqnarray*} (k,m) \end{eqnarray*}$ natürlicher Zahlen in $\begin{eqnarray*} \sum_{k=j}^\infty ~ \sum_{m=0}^{k-j-1} \end{eqnarray*}$ summiert wird.

Das kannst du einmal für festes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ betrachten: Dann durchläuft $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die Werte $\begin{eqnarray*} 0,1,\ldots,k-j-1 \end{eqnarray*}$ - so wie in der ersten Doppelsumme.

Dann kannst du es aber andererseits auch für festes $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ betrachten: Offenbar ist ja $\begin{eqnarray*} m\leq k-j-1 \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} k \geq m+j+1 \end{eqnarray*}$ . Also sind die möglichen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Werte dann $\begin{eqnarray*} k=m+j+1,m+j+2,\ldots \end{eqnarray*}$ , nach oben keine Grenze.

03.07.2009, 16:21

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summation

Zitat:

Original von Sunny509
ich verstehe diese Umformung eines Beweises nicht:

Ein Beweis wird hier mit Sicherheit nicht umgeformt. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Summation

Verwandte Themen