bedingte Erwartung

03.07.2009, 13:39

hxh

bedingte Erwartung

Hallo,
ich hab da mal eine kurze Frage zu einem Beweis.

Gegeben $\begin{eqnarray*} X \in L_1( \Omega,\mathcal A,P) ; \mathcal F \subset \mathcal A \end{eqnarray*}$

Gilt $\begin{eqnarray*} P(A) \in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} A \in \mathcal F \end{eqnarray*}$ so gilt $\begin{eqnarray*} E[X | \mathcal F ] = E[X] \end{eqnarray*}$

Jetzt gehts los.
Für jedes $\begin{eqnarray*} A \in \mathcal F \end{eqnarray*}$ und jedes $\begin{eqnarray*} B \in \mathcal A \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = 0 \end{eqnarray*}$ für P(A)=0 und $\begin{eqnarray*} P(A \cap B)=P(B) \end{eqnarray*}$ für P(A) =1 .

Warum ist das denn so ?

Wenn die Wahrscheinlichkeit für ein Ereigniss A, 0 ist , dann muss sie für den Schnitt auch Null sein. Einfach wegen der Teilmengen Beziehung der Sigma Algebren.
Und wenn P(A)=1 ist muss der Schnitt P(B) sein, weil B höchstens größer ist ?

03.07.2009, 14:02

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Zitat:

Original von hxh
Wenn die Wahrscheinlichkeit für ein Ereigniss A, 0 ist , dann muss sie für den Schnitt auch Null sein. Einfach wegen der Teilmengen Beziehung der Sigma Algebren.

"Teilmengen Beziehung der Sigma Algebren" ? Nein, einfach nur "Teilmengenbeziehung":

Es ist $\begin{eqnarray*} A\cap B \subset A \end{eqnarray*}$ , damit ist $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \leq P(A) \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von hxh
Und wenn P(A)=1 ist muss der Schnitt P(B) sein, weil B höchstens größer ist ?

Das ist keine stichhaltige Argumentation. unglücklich

Hier berücksichtigt man $\begin{eqnarray*} B = (A\cap B) \cup (A^c \cap B) \end{eqnarray*}$ :

Aus $\begin{eqnarray*} P(B) = P(A\cap B) + P(A^c \cap B) \end{eqnarray*}$ folgt mit $\begin{eqnarray*} P(A^c \cap B) \leq P(A^c) = 0 \end{eqnarray*}$ dann das gesuchte $\begin{eqnarray*} P(B) = P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ .

Alles ganz elementar. Augenzwinkern

03.07.2009, 14:22

hxh

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Ach du meine Güte. Hammer

Ja danke jetzt ist es mir klar.

Naja daraus folgt dann auch die Unabhängigkeit für alle A und B. Damit dann die unabhängigkeit der sigma Algebren. Und dann ist man ja auch fertig.

08.07.2009, 17:07

hxh

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Ich häte da noch eine Frage.

Ich hatte da eine Aufgabe, die so ähnlich war. Dort war $\begin{eqnarray*} \mathcal F = \{\emptyset,\Omega\} \end{eqnarray*}$ vorgegeben , dann ist für alle $\begin{eqnarray*} F \in \mathcal F \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(F) \in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ und man geht wieder wie hier vor.
Insbesondere ist ja jede F messbare Funktion konstant.

Man kann jetzt nicht aus der Aufgabenstellung am Anfang der Seite sagen, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ die triviale Sigma Algebra ist ?

08.07.2009, 18:25

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Nein, kann man nicht.

Sag bloß, dir sind noch keine nichtleeren Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit Null begegnet?

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