Lineare inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung

03.07.2009, 16:41

DKR82

Lineare inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung

Hallo Ihr...

komme bei folgender Differentialgleichung nicht weiter...

$\begin{eqnarray*} y'+\frac{y}{1+x}=e^{2x} \end{eqnarray*}$

Habe zunächst die allgemeine Lösung der homogenen DGL bestimmt

$\begin{eqnarray*} y'+\frac{y}{1+x}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_h=-C(1+x) \Rightarrow y_{h}'=-C'(x)-C'(x)x-C(x) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun aber yh und yh' in die inhomogene DGL einsetze, erhalte ich folgendes Integral auf der rechten Seite, welches ich nicht gelöst bekomme traurig

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~C'(x)~dx= -\int_{}^{}~\frac{e^{2x}}{1+x}~dx \end{eqnarray*}$

Vielleicht hat ja jemand eine Idee wie ich das Integral lösen oder "umgehen" kann?!? verwirrt

Für Tipps wäre ich dankbar...

MFG

Danny

03.07.2009, 16:44

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung der homogenen DGL ist falsch. Beachte: $\begin{eqnarray*} e^{-y} = \frac 1 {e^y}. \end{eqnarray*}$

03.07.2009, 17:25

DKR82

Auf diesen Beitrag antworten »

Prima!! Danke für die Expresshilfe....hab das Minuszeichen beim ln missachtet! Hammer

Damit habe ich jetzt

$\begin{eqnarray*} y_h=\frac{1}{C(1+x)} \end{eqnarray*}$ und die Abelitung

$\begin{eqnarray*} y'_h=\frac{-C'(x)*(1+x)-C(x)}{C(x)^2\cdot(1+x)^2} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die inhomogene DGL erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \frac{-C'(x)*(1+x)-C(x)}{C(x)^2\cdot(1+x)^2}+\frac{1}{C(x)\cdot(1+x)^2}=e^{2x} \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich aber

$\begin{eqnarray*} C'(x)=-C(x)^2\cdot e^{2x}\cdot(1+x) \end{eqnarray*}$

Müsste nicht aber das C(x) wegfallen?! Hab ich schon wieder was übersehen? traurig

03.07.2009, 19:36

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DKR82
$\begin{eqnarray*} y_h=\frac{1}{C(1+x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{C}{1+x} \end{eqnarray*}$

04.07.2009, 01:14

DKR82

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp! Freude

Also wurde hier einfach wieder das neue C=1/C gesetzt, um das C aus dem Nenner zu bekommen??

Weil durch die Rechnung komm ich immer wieder auf folgenden Term

$\begin{eqnarray*} -ln(y)=ln(1+x)+ln(C) \end{eqnarray*}$

und damit auch auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{C(1+x)} \end{eqnarray*}$ verwirrt

MFG

Danny

Neue Frage »

Antworten »

Lineare inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung

Verwandte Themen