affine Gerade in projektiven Punkt umrechnen und umgekehrt

03.07.2009, 17:18	smiiile	Auf diesen Beitrag antworten »
affine Gerade in projektiven Punkt umrechnen und umgekehrt Hallo, ich habe eine affine Gerade und möchte gerne das Äquivalent dazu im Projektiven betrachten. Wenn ich zum Beispiel die Gerade $\begin{eqnarray} x_2 + 2x_1-3=0 \end{eqnarray}$ gegeben habe, kann ich ja sagen, das ist der projektive Punkt $\begin{eqnarray} P_1= [-3,2,1] \end{eqnarray}$ oder auch $\begin{eqnarray} P_1= [1,-\frac{2}{3} ,-\frac{1}{3} ] \end{eqnarray}$ da mich im Projektiven ja nur die Teilverhältnisse interessieren, also die Verhältnisse der einzelnen Koordinaten zueinander. Da alle Koordinaten gleichberechtigt sind, kann ich auch die Reihenfolge der Koordinaten wählen, wie ich will. Wenn ja, dann sollte die Gerade $\begin{eqnarray} x_2 + 2x_1+5=0 \end{eqnarray}$ ja auch genau auf diesem Punkt landen, da die beiden Geraden ja parallel sind und parallele Geraden im Affinen dem selben projektiven Punkt entsprechen, oder? Wenn ich hier wie oben den projektiven Punkt ausrechne, komme ich aber auf $\begin{eqnarray} P_2=[5,2,1] \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} P_2= [1,\frac{2}{5} ,\frac{1}{5} ] \end{eqnarray}$ und diese beiden Punkte $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ sind doch nicht gleich, oder? Wo liegt denn mein Fehler? Und wie kann ich denn von einem Punkt im Projektiven auf die dazugehörige Gerade im Affinen kommen? Ich habe es einmal so versucht: der projektive Punkt ist $\begin{eqnarray} P_1= [-3,2,1] \end{eqnarray}$ Nun teile ich die zweite und dritte Koordinate jeweils durch die erste. Das ergibt $\begin{eqnarray} [-\frac{2}{3} ,\frac{1}{3} ] \end{eqnarray}$ Würde das dann $\begin{eqnarray} [-\frac{2}{3}x_1 +\frac{1}{3}x_2 + c ] \end{eqnarray}$ als affine Gerade ergeben ? Vielen Dank schon mal im Voraus. Grüße smiiile

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