Konvergenzradius/Reihe mit Matrix berechnen

03.07.2009, 21:44

Wittgenstein

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Konvergenzradius/Reihe mit Matrix berechnen

Hallo

Ich soll zu folgenden Reihen den Konvergenzradius bestimmen:

a) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~((n+1)/n)^{n^2} \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ x^{n^2} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{n^n}{n!} \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~a_n \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_0=a_1=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \end{eqnarray*}$

zu a) habe ich die Formel von Cauchy-Hamadad angewendet und bin auf
$\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ {(\frac{n+1}{n})^{n^2}} } } = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ gekommen.

Bei b) wollte ich es genau so machen, aber war mir nicht sicher, ob $\begin{eqnarray*} a_k=1 \end{eqnarray*}$ ist.. Bin erstmal davon ausgegangen und als Ergebnis habe ich dann $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$

Bei c) habe ich dann das Quotientenkriterium verwendet, weil sich damit die Fakultät wegkürzt: $\begin{eqnarray*} R= \frac{\frac{n^n}{n!} }{\frac{(n-1)^{n-1}}{(n-1)!} } = \frac{n^{n-1}}{(n-1)^{n-1}} = ? \end{eqnarray*}$ .

zu d) weiß ich leider nicht so genau... Ich vermute mal Quotientenkriterium:
$\begin{eqnarray*} R=\frac{a_{n+2}}{a_{n+2}+a_{n+1}} = ? \end{eqnarray*}$

05.07.2009, 16:28

Wittgenstein

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Ich hab mir jetzt noch folgendes überlegt:

zu c) $\begin{eqnarray*} R= \frac{\frac{n^n}{n!} }{\frac{(n-1)^{n-1}}{(n-1)!} } = \frac{n^{n-1}}{(n-1)^{n-1}} = (n/(n-1))^{n-1}=(1-1/n)^{-n+1}=e \end{eqnarray*}$ .

zu d) $\begin{eqnarray*} R=\frac{a_{n+2}}{a_{n+2}+a_{n+1}} = (\frac{a_{n+2}+a_{n+1}}{a_{n+2}})^{-1}<1 \end{eqnarray*}$

Limes n->oo fehlt da noch in jeder Gleichung.

wäre nett wenn jemand mal gucken könnte, ob das sinnvoll ist smile

smile

05.07.2009, 17:58

WebFritzi

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RE: Konvergenzradius/Reihe mit Matrix berechnen

Zitat:

Original von Wittgenstein
Formel von Cauchy-Hamadad

Unglaublich... unglücklich

unglücklich

(a) hast du richtig gelöst.

Zitat:

Original von Wittgenstein
Bei b) wollte ich es genau so machen, aber war mir nicht sicher, ob $\begin{eqnarray*} a_k=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Frag dich, ob deine Beiträge verständlich sind, bevor du postest.

Zitat:

Original von Wittgenstein
Bei c) habe ich dann das Quotientenkriterium verwendet, weil sich damit die Fakultät wegkürzt: $\begin{eqnarray*} R= \frac{\frac{n^n}{n!} }{\frac{(n-1)^{n-1}}{(n-1)!} } = \frac{n^{n-1}}{(n-1)^{n-1}} \end{eqnarray*}$ .

Das ist natürlich Unfug. Es ist

$\begin{eqnarray*} R= \lim_n\,\frac{\frac{n^n}{n!} }{\frac{(n-1)^{n-1}}{(n-1)!} } = \lim_n\,\frac{n^{n-1}}{(n-1)^{n-1}} = \lim_n\,\left(\frac n {n-1}\right)^{n-1} = \dots . \end{eqnarray*}$

05.07.2009, 18:03

Sly

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zu d) das ist die Fibonacci-Folge. Ich weiß zwar nicht, ob man das hier sofort verwenden darf, aber es gilt die explizite Formel

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right),\qquad n\geq 1 \end{eqnarray*}$

Mit Cauchy-Hadamard sollte das dann zu handhaben sein, da ja der zweite Summand in der Klammer eine Nullfolge ist.

Andernfalls ist es auch möglich, nur den Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ auszunutzen.

05.07.2009, 18:29

Wittgenstein

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zu c) hatte ich ja in meinem 2. Beitrag nochmal was geschrieben

b) meinte ich eigentlich $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ a_n*x^{n^2} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ und dann darauf Cauchy-Hadamard ( Augenzwinkern

Augenzwinkern

) anwenden. Ergebnis war bei mir 1.

zu d) $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ wäre dann der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R=\frac{2}{1+\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

wobei ich nicht weiß, ob für das benutzen dürfen, denn diese Darstellung für die Fibonacci-Folge hatten wir in der Vorlesung noch nicht.

05.07.2009, 19:05

WebFritzi

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Zitat:

Original von Wittgenstein
b) meinte ich eigentlich $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ a_n*x^{n^2} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ und dann darauf Cauchy-Hadamard ( Augenzwinkern

Augenzwinkern

) anwenden. Ergebnis war bei mir 1.

Leider ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ a_n*x^{n^2} \end{eqnarray*}$ nicht die "Normalform" einer Potenzreihe.

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05.07.2009, 19:29

Wittgenstein

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zu b) ok.. dann geht muss ich die Reihe irgendwie zu $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ a_n*x^{n} \end{eqnarray*}$ umschreiben..

Ich hab versucht die Ableitung der Reihe zu betrachten, mit $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ 2n*x^{2n-1} \end{eqnarray*}$ aber das hilft mir auch nicht so richtig weiter..

Ist denn der Konvergenzradius am ende von x abhängig?

05.07.2009, 21:22

Wittgenstein

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Hab mich verrechnet, die Ableitung ist ja $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ n^2*x^{n^2-1} \end{eqnarray*}$
bringt mich aber trotzdem nicht weiter ...

05.07.2009, 23:55

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} a_k=\begin{cases} 1 & \text{falls }k=n^2\text{ für ein }n\in\mathbb N \\ 0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

06.07.2009, 12:31

Wittgenstein

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Also ich schreib b) jetzt nochmal richtig hin, damit ich nicht mit den Indizies durcheinander komme:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ x^{n^2}=\sum_{k=1}^\infty ~ a_k*x^k \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} a_k=\begin{cases} 1 & \text{falls }k=n^2\text{ für ein }n\in\mathbb N \\ 0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Der Konvergenzradius ist dann $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} k=n^2 \end{eqnarray*}$ .

Und für $\begin{eqnarray*} a_k=0 \end{eqnarray*}$ ist der Konvergenzradius nicht definiert, da man sowohl beim Quotientenkriterium, als auch bei der Formel von Cauchy-Hadamard durch 0 teilen müsste.

06.07.2009, 14:26

Udo Klabuster

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RE: Konvergenzradius/Reihe mit Matrix berechnen

Zitat:

Original von Wittgenstein

d) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n ~ x^n \ \mbox{mit} \ a_0=a_1=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \end{eqnarray*}$

Hier kann man den Reihenwert auch ganz gut berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n ~ x^n=\frac{1}{1-x^2-x} \end{eqnarray*}$

06.07.2009, 14:40

AD

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Zitat:

Original von Wittgenstein
Und für $\begin{eqnarray*} a_k=0 \end{eqnarray*}$ ist der Konvergenzradius nicht definiert, da man sowohl beim Quotientenkriterium, als auch bei der Formel von Cauchy-Hadamard durch 0 teilen müsste.

Nein, bei Cauchy-Hadamard muss man es eben nicht: Da steht im Nenner der Limes Superior $\begin{eqnarray*} \lim\sup_n \sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$ , und der ist hier gleich 1.

06.07.2009, 15:01

WebFritzi

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Zitat:

Original von Wittgenstein
Der Konvergenzradius ist dann $\begin{eqnarray*} R=1 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} k=n^2 \end{eqnarray*}$ .

Das ist mathematischer Muell. Schreib hin, was du meinst. Und falls du das nicht genau weisst, dann lass es lieber. In der Mathematik muss man sich praezise ausdruecken, damit man verstanden wird. Alles andere ist unbrauchbar.

06.07.2009, 21:29

Wittgenstein

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An den Limes Superior hatte ich gar nicht gedacht. Ich hab mir jetzt nochmal den Wikipedia Artikel dazu durchgelesen und nun hab ich auch die Begründung verstanden, warum der Konvergenzradius 1 ist.

zu d)

Wenn man den Wert der Reihe kennt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n ~ x^n=\frac{1}{1-x^2-x} \end{eqnarray*}$

kann man den Konvergenzradius ja berechnen, indem man den Nenner auf Nullstellen untersucht.

Das wären in diesem Fall $\begin{eqnarray*} x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$
Also ist der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ , weil dieser Punkt näher am Ursprung liegt. (Kann man das so begründen?)

Ich habe versucht mir $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n ~ x^n=\frac{1}{1-x^2-x} \end{eqnarray*}$
herzuleiten, aber bin zu keinem Ergebnis gekommen.. Wie muss ich da vorgehen?

07.07.2009, 16:08

Udo Klabuster

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Zitat:

Original von Wittgenstein
Ich habe versucht mir $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n ~ x^n=\frac{1}{1-x^2-x} \end{eqnarray*}$
herzuleiten, aber bin zu keinem Ergebnis gekommen.. Wie muss ich da vorgehen?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n ~ x^n=1+x+\sum_{n=2}^\infty a_n~x^n = 1+x+x^2\sum_{n=0}^\infty (a_n+a_{n+1})~x^n \end{eqnarray*}$

jetzt erstmal die Reihe auseinanderziehen noch ein bisschen umformen, zusammenfassen und eine kleine Grenzwertbetrachtung einbringen, dann steht's schon da...

07.07.2009, 19:43

Wittgenstein

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Danke für die Hilfe smile

smile

Ich habe jetzt versucht, die Reihe weiter umzuformen und bin auf folgendes gekommen...

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n ~ x^n=1+x+\sum_{n=2}^\infty a_n~x^n = 1+x+x^2\sum_{n=0}^\infty (a_n+a_{n+1})~x^n<br /> =1+x+x^2\sum_{n=0}^\infty a_n~x^n+a_{n+1}~x^n=1+x+x^2(\sum_{n=0}^\infty a_n~x^n+\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}~x^n)<br /> =1+x+x^2(1+\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}~x^n+\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}~x^n)<br /> =1+x+x^2(1+2\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}~x^n)<br /> =1+x+x^2+2x^2\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}~x^n<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Allerdings war ich dabei ziemlich verloren... und weiß auch gar nicht ob, oder wie mir das jetzt weiter hilft. unglücklich

unglücklich

Das Endergebnis $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n ~ x^n=\frac{1}{1-x^2-x} \end{eqnarray*}$ sieht sehr nach einem Wert der geometrischen Reihe aus, aber ich weiß nicht, wie ich die oben genannte Reihe weiter umformen soll.

08.07.2009, 10:26

Udo Klabuster

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Um Deine Ausführungen lesbarer zu machen solltest Du auf Zeilenumbrüche innerhalb einer Latex-Formel verzichten. Mach den Zeilenumbruch nach dem Beenden einer Latex-Formel und beginne in der neuen Zeile eine neue Latex-Formel.

Zur eigentlichen Frage:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n ~ x^n=1+x+x^2\sum_{n=0}^\infty a_n~x^n+x\sum_{n=1}^\infty a_n~x^n=1+x^2\sum_{n=0}^\infty a_n~x^n+x\sum_{n=0}^\infty a_n~x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_n ~ x^n=\frac{1}{1-x^2-x} \end{eqnarray*}$

Nicht unerwähnt lassen möchte ich, dass dies nur zulässig ist wenn die Konvergenz gesichert ist.

08.07.2009, 17:06

Wittgenstein

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Ich habe jetzt deine Umformungen verstanden.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n ~ x^n=1+x+\sum_{n=2}^\infty a_n~x^n = 1+x+x^2\sum_{n=0}^\infty (a_n+a_{n+1})~x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1+x+x^2\sum_{n=0}^\infty a_n~x^n+x^2\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}~x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1+x+x^2\sum_{n=0}^\infty a_n~x^n+x\sum_{n=1}^\infty a_n~x^n=1+x^2\sum_{n=0}^\infty a_n~x^n+x\sum_{n=0}^\infty a_n~x^n \end{eqnarray*}$

Dann bin ich weiter vorgegangen, indem ich folgende Gleichung gelöst habe:
$\begin{eqnarray*} 1+x^2*z+x*z=z \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} z=\sum_{n=0}^\infty a_n~x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{z} +x^2+x=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{z} = 1-x^2-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow z=\frac{1}{1-x^2-x} \end{eqnarray*}$

Also ist der Wert der Reihe = z.

Davon berechne ich dann die Nullstellen und erhalte

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Da x_2 näher am Nullpunkt liegt, beträgt der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$
Kann man das so begründen? Oder gibts noch einen schöneren Weg?

08.07.2009, 18:35

Udo Klabuster

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Zitat:

Original von Wittgenstein
Kann man das so begründen?

Nein!

Wie ich bereits erwähnt habe ist das Ganze nur dann zulässig, wenn die Konvergenz der Reihe gesichert ist.

Die Frage nach der Konvergenz lässt sich wohl am besten über die explizite Darstellung der Fibonacci-Zahlen beantworten. Das wurde ja auch schon gesagt.

Überhaupt lohnt es sich mal mit dem Stichwort 'Fibonacci' die Boardsuche zu bemühen.

08.07.2009, 19:45

Wittgenstein

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Ich habe nochmal ein wenig recherchiert, und hier
http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/node2.html#lllfvb
steht unter anderem bei Punkt 1.5, dass man durch Berechnung der Nullstellen sieht, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} | x| < \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ konvergiert... Wieso sollte das denn falsch sein?
Wir hatten in der Übungsgruppe an der Uni auch ähnliche Beispiele, z.B.:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~x^k = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ konvergiert für $\begin{eqnarray*} | x| < 1 \end{eqnarray*}$

Sonst müsste ich mir ja für die Frage nach dem Konvergenzradius noch die explizite Darstellung herleiten, denn wir hatten in der Vorlesung nicht einmal das Wort Fibonacci erwähnt, geschweige denn eine explizite Formel angegeben...

08.07.2009, 20:39

Udo Klabuster

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Aus der Rekursionsgleichung kannst Du sehr einfach eine geeignete Abschätzung für die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ herleiten mittels derer Du den Konvergenzradius zwischen 0,5 und 1 eingrenzen kannst. Damit wären Deine Überlegungen zum Reihenwert legitimiert und der Konvergenzradius wäre als Nullstelle berechenbar.

Zitat:

Original von Wittgenstein
Wir hatten in der Übungsgruppe an der Uni auch ähnliche Beispiele, z.B.:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~x^k = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ konvergiert für $\begin{eqnarray*} | x| < 1 \end{eqnarray*}$

Dazu gelangt man aber durch den Grenzwert der Partialsumme:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} ~x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$ , der nur dann existiert wenn eben $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von Wittgenstein
Sonst müsste ich mir ja für die Frage nach dem Konvergenzradius noch die explizite Darstellung herleiten, denn wir hatten in der Vorlesung nicht einmal das Wort Fibonacci erwähnt, geschweige denn eine explizite Formel angegeben...

Du kannst die explizite Formel doch angeben und ganz einfach per Induktion beweisen um dann per Quotientenkriterium zu argumentieren.

08.07.2009, 20:52

Wittgenstein

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Zitat:

Original von Udo Klabuster
Aus der Rekursionsgleichung kannst Du sehr einfach eine geeignete Abschätzung für die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ herleiten mittels derer Du den Konvergenzradius zwischen 0,5 und 1 eingrenzen kannst. Damit wären Deine Überlegungen zum Reihenwert legitimiert und der Konvergenzradius wäre als Nullstelle berechenbar.

Die Rekursionsgleichung für die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ lautet doch $\begin{eqnarray*} a_n=a_{n+2}-a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Kann ich die Abschätzung wie folgt vornehmen:
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_{n+2}} = \frac{a_{n+2}-a_n}{a_{n+2}} < 1 - \frac{a_n}{a_{n+2}} < 1 \end{eqnarray*}$
Für die Abschätzung >0,5 habe ich leider keine Idee.

08.07.2009, 21:01

Udo Klabuster

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Ab hinreichend großem $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} n<a_n. \end{eqnarray*}$

Und da die Fibonacci-Folge offensichtlich streng monnoton wächst gilt:

$\begin{eqnarray*} a_n>a_{n-1}\Rightarrow a_{n+1}=a_n+a_{n-1}<2~a_n\Rightarrow a_n<2^n. \end{eqnarray*}$

08.07.2009, 21:08

Wittgenstein

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Damit hast du doch auch eine Abschätzung nach unten gemacht, dass $\begin{eqnarray*} a_n<2^n \end{eqnarray*}$
War meine denn falsch?

09.07.2009, 08:46

Udo Klabuster

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Zitat:

Original von Wittgenstein
Damit hast du doch auch eine Abschätzung nach unten gemacht, dass $\begin{eqnarray*} a_n<2^n \end{eqnarray*}$

Ja genau. Und?!?

Zitat:

Original von Wittgenstein
War meine denn falsch?

Nein, falsch nicht. Aber im gegebenen Kontext nur bedingt zielführend. Du hast in diesem Zusammenhang nun wirklich mehr als genug Input bekommen. Verdau das mal alles und wende es an.

09.07.2009, 17:23

Wittgenstein

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alles klar smile

smile

danke für die hilfe

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