Beweis: Cobb-Douglas-Funktion streng konkav |
| 03.07.2009, 23:42 | freedom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweis: Cobb-Douglas-Funktion streng konkav ich sitze hier seit Stunden an einem Beweis...versuche alles mögliche...wahrscheinlich ist das total simpel...doch ich seh es einfach nicht. 
Aufgabe: Sei f(x1,x2)=(x1^a1)*(x2^a2) mit ai,x,y >0 Zeige, dass die Funktion strikt konkav ist, wenn (a1+a2) < 1 ist. Ich brauche wahrscheinlich nur einen kleinen Gedankenstoß... Danke schonmal im Voraus! Viele Grüße Sascha |
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| 04.07.2009, 01:11 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Beweis: Cobb-Douglas-Funktion streng konkav Was hast du denn schon probiert? Wie sehen denn die Ableitungen aus? |
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| 04.07.2009, 01:30 | freedom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja ich habe die Definition für strenge Konkavität aufgestellt und versucht zu zeigen, dass diese nur gilt, wenn a1+a2 < 1 ist. Außerdem habe ich es über die Definition, dass die Tangentialebene über den Graphen liegen muss, versucht. Außerdem habe ich versucht zu zeigen, dass die Hesse-Matrix negativ definit sein muss... Ich bekomme es einfach nur nicht hin zu zeigen, dass es nur für a1+a2 <1 gilt. Habe auch schon versucht, die Funktion zu logarithmieren und anhand der neuen Funktion das zu zeigen...aber ich schaffe es einfach nicht. 
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| 04.07.2009, 02:25 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie sieht denn die Hesse-Matrix aus? |
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| 04.07.2009, 12:53 | freedom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Hesse-Matrix schaut so aus: a11: ( a1[a1f(x)-f(x)] )/x1^2 a12: [a1a2f(x)] /x1x2 a21: wie auch a12 a22: ( a2[a2f(x)-f(x)] )/x2^2 Wobei aij den Zeilen- und Spalteneintrag angibt. Wieso fragst du @tigerbine? Hast du vlt. eine Idee? |
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| 04.07.2009, 13:08 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist ja nur eine 2x2 Matrix. Da würde sich das hurwitz-Kriterium anbieten. Also bestimme mal die Determinanten der Abschnittsmatrizen und stell fest, wann diese >0 sind. |
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| 04.07.2009, 13:57 | freedom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nunja: a11 muss <0 sein. D.h. a1 muss <1 sein. detHf muss >0 sein. ==> a11*a22 - a21*a12 >0 Da a21=a12 ==> a21*a12 >0 und damit muss a22 <0 und a11*a22 > a21*a12 sein. ==> a2 muss < 1 sein. Nun habe ich es noch weiter umgeformt, ausmultipliziert usw. und bin zum Ergebnis gekommen, dass es hinreichend ist, dass a1,a2 < 1 sind. Komme aber nicht die notwendige Bedingung, dass a1+a2 <1 sein müssen.
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| 05.07.2009, 16:12 | freedom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm..keiner? |
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| 06.07.2009, 22:42 | freedom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe es heute im Tutorium gezeigt bekommen. Mein Weg war richtig...aber ich hätte einfach die Ableitungen nicht in die verkürzte Schreibweise (welche manchmal nützlich ist) bringen sollen.... |
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| 07.07.2009, 02:37 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Wenn du nicht sagst, was f(x) sein soll, ist es ja kein Wunder, wenn sich keiner meldet. |
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