Kann ich Eigenwerte bei einem gegebenen Eigenwert leichter berechnen als über charakt. Polynom?

04.07.2009, 01:11

smiiile

Kann ich Eigenwerte bei einem gegebenen Eigenwert leichter berechnen als über charakt. Polynom?

Hallo,
ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 6 & 6 \\ 6 & 0 & 12 \\ 6 & 12 & 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist. Und alle weiteren Eigenwerte von A berechnen.

Ich habe diese Aufgabe zwar lösen können, aber ich glaube etwas umständlich.
Ich habe einfach von oben durchgerechnet, das charakteristische Polynom von A bestimmt

$\begin{eqnarray*} \chi(A)= -\lambda^3+21\lambda^2+198\lambda+0 \end{eqnarray*}$
und die Eigenwerte berechnet, indem ich das gleich 0 gesetzt habe.
Es ergaben sich

$\begin{eqnarray*} \lambda_1= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2= 28 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_3= -7 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich jeweils die Eigenvektoren berechnet und herausgefunden, dass für $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt in $\begin{eqnarray*} A-\lambda * E \end{eqnarray*}$
sich folgendes lineares Gleichungssystem ergibt.

$\begin{eqnarray*} 3x_1 + 6x_2-4x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x_1 -2x_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_2 = t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{2}{3} t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 = 2 t \end{eqnarray*}$

somit sind alle Vektoren mit $\begin{eqnarray*} v= \begin{pmatrix}\frac{2}{3} t\\ t \\ 2t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Eigenvektoren zum EW lambda.

somit für t= 3 auch der gefragte.

Allerdings habe ich ja nur einfach von oben runtergerechnet und gezeigt, dass dieser Vektor rauskommt. Kann ich das ganze nicht auch geschickter rechnen, indem ich sage, der Eigenvektor ist der Vektor der invariant bzgl der Matrix A ist und sich nur in seiner Länge im Verhältnis von lambda ändert?

dazu könnte ich ja den Vektor mit der Matrix multiplizieren.

also $\begin{eqnarray*} v_1^{t} * A \end{eqnarray*}$
Das ergibt bei mir den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 56 \\ 84 \\ 168 \end{pmatrix}^{t} \end{eqnarray*}$ Dies ist also ein Eigenvektor von A mit t= 84.

Jetzt kann ich auch rausfinden, zu welchem Eigenwert dieser Vektor gehört. Das ist ja gerade die Länge um die er gestreckt wurde. Also $\begin{eqnarray*} \frac{84}{3}= 28 \end{eqnarray*}$

Kann ich nun, da ich einen Eigenwert weiß, die anderen Eigenwerte irgendwie einfacher berechnen als mit dem charakteristischen Polynom(mit dem ich dann notgedrungen nochmals alle 3 Eigenwerte herausbekomme)? Dies ist nämlich meist sehr viel Rechenarbeit.

Gruß
smiiile

04.07.2009, 01:12

tigerbine

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RE: zeige dass gegebenes v_1 Eigenvektor von A ist
Wenn v ein EV von A sein soll. Dann würde ich einfach mal Av berechnen.

04.07.2009, 01:18

smiiile

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das ging aber schnell...
ja, das habe ich ja schon gemacht.
Mir sind immer mehr Schritte von der Aufgabe klar geworden, als ich sie so hingeschreiben habe, deshalb ist der Lösungsweg am Anfang sehr ausführlich.
Die eigentliche Frage ist ganz am Schluss..
Ich habe jetzt diesen einen EW gefunden und möchte nur noch die anderen berechnen.
Muss ich dann trotzdem mit dem charakteristischen Polynom ansetzen und das gleich 0 setzen oder kann ich das irgendwie schneller und leichter rechnen?
Ich bekomme ja beim charakteristischen Polynom nochmals alle 3 EW, einen habe ich aber schon und da hab ich gedacht, vllt kann man den irgendwie "rauskürzen"

04.07.2009, 01:23

tigerbine

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Mir fällt nichts schnelleres ein, außer man sieht direkt was. Aber bei 3x3 freut man sich doch, wenn man einen EW schon kennt. Dann ist es doch nur noch anwenden der Lösungsformel.

04.07.2009, 01:40

smiiile

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ah, ich glaube das ist genau das was ich gemeint habe.. meinst du dass ich nur noch mit der Mitternachtsformel die beiden anderen EW ausrechnen muss? Oder wie komme ich auf diese Lösungsformel?

Also wie kann ich es verwenden, dass ich den einen schon "gesehen" habe?

04.07.2009, 01:41

tigerbine

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Ich meinte, wenn du in A einen EV zu erkennen gaubst, prüfe eben Av. Ansonsten Mitternachtsformel, ja.

04.07.2009, 02:08

smiiile

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Zitat:

also $\begin{eqnarray*} v_1^{t} * A \end{eqnarray*}$
Das ergibt bei mir den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 56 \\ 84 \\ 168 \end{pmatrix}^{t} \end{eqnarray*}$

so, Av geprüft ^^ also passt es und $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ ist ein Eigenvektor mit EW 28

Ich suche jetzt noch die anderen beiden EW.
Jetzt habe ich aber noch $\begin{eqnarray*} \chi(A)= \end{eqnarray*}$ ... lange Rechnung ... $\begin{eqnarray*} =-\lambda^3+21\lambda^2+198\lambda+0 \end{eqnarray*}$

Und kann ich mir diese lange Rechnung ersparen, wenn ich schon ein lambda weiß? Also kann ich von hier direkt auf die Mitternachtsformel kommen?
Klar könnte ich jetzt mit dem bekannten lambda Polynomdivision machen also bringt es mir schon etwas, aber das charakteristische Polynom kann ich mir nicht ersparen, oder?

Zitat:

Aber bei 3x3 freut man sich doch, wenn man einen EW schon kennt. Dann ist es doch nur noch anwenden der Lösungsformel.

Warum freue ich mich denn?
Ich muss die ganze Rechnung doch trotzdem machen, oder?

04.07.2009, 02:14

tigerbine

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Man freut sich, weil am Ende der langen Rechnung auf jeden Fall ein Ergbenis steth. Bei Polynomen vom Grad 5 kann man da schon mal verzweifeln. Ok, eigentlich schon bei Grad 3. Augenzwinkern

Polynom musst du imho ausrechnen..

04.07.2009, 12:02

smiiile

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vielen Dank für deine Antwort, auch wenn sie mir das Polynom nicht erspart Augenzwinkern

04.07.2009, 12:04

tigerbine

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Wär uns allen manchmal lieber. Augenzwinkern

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