Partialbruchzerlegung / Hilfe gesucht

04.07.2009, 07:49

Eva-S

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Partialbruchzerlegung / Hilfe gesucht

Folgende Aufgabe habe ich vorliegen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~{\frac{x \cdot (x+1)}{(x-1)(x^2+1)}}~dx \end{eqnarray*}$ und folgenden Lösungsansatz habe ich von einem Kollegen bekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x^2+1} = \frac{A(x^2+1)+B(x-1)}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{Ax^2+Bx+A-B}{Q(x)} \Rightarrow A=1, B=1 \end{eqnarray*}$

Leider verstehe ich es nicht ganz. Wie komme ich denn hier auf mein A und B.
Außerdem dachte ich immer ich habe A, B und C und nicht nur A und B?

04.07.2009, 08:03

AD

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Genau genommen hast du auch $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ im vollständigen Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1} + \frac{B+Cx}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ .

Im vorliegenden Fall hast du nur Glück, dass gerade $\begin{eqnarray*} C=0 \end{eqnarray*}$ rauskommt, so fällt das Fehlen von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ im Ansatz nicht auf. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine gängige Methode auf die $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ zu kommen, ist der Koeffizientenvergleich bzgl. der Koeffizienten vor $\begin{eqnarray*} x^2,x^1,x^0 \end{eqnarray*}$ .

04.07.2009, 08:38

Eva-S

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Ich glaube ich habe die Partialbruchzerlegung an sich noch nicht richtig verstanden.

Laut "Papula" muss ich doch zunächst alle Nullstellen des Nennerpolynoms finden, oder?
Also in diesem Falle hier hätte ich ja nur 1 als Nullstelle da $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ja immer positiv ist.

Und anschliessend muss ich doch mit den ermittelten Nullstellen die verschiedenen Partialbrüche erstellen oder?

Mit nur einer Nullstelle hätte ich doch eigentlich nur $\begin{eqnarray*} \frac {A}{x-1} \end{eqnarray*}$

04.07.2009, 08:50

AD

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Es geht nicht nur um die reellen, sondern um alle, also auch die komplexen Nullstellen.

04.07.2009, 09:17

Eva-S

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Mit komplexen Zahlen und Operationen hatte ich bisher noch nie zu tun um ehrlich zu sein.

04.07.2009, 10:02

Eva-S

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Muss ich bei diese Aufgabe so lösen wie hier im letzten Beispiel?
Die Aufgabe sehen ja ähnlich aus.

http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung

Dort ist ja auch von komplexen Nullstellen die Rede!?

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04.07.2009, 10:27

Duedi

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Da Arthur grad nicht da ist, mache ich einen Moment weiter.

Wenn du noch keine Erfahrung mit komplexen Zahlen hast, rechne einfach alle reellen Linearfaktoren des Nenners (also die $\begin{eqnarray*} (x-a) \end{eqnarray*}$ ) heraus. Z. B.: $\begin{eqnarray*} x^2-1=(x+1)(x-1) \end{eqnarray*}$ . Oft stößt du dann aber noch auf Faktoren, die quadratisch sind, also etwa $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ , was keine reelle Nullstelle hat. Ganz allgemein sieht das dann so aus:

Wenn du einen Bruch folgender Gestalt hast:

$\begin{eqnarray*} \frac{P(x)}{(x-a)^m(x-b)^n(x^2+cx+d)^l} \end{eqnarray*}$ , wobei P(x) ein Polynom ist, $\begin{eqnarray*} (x-a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x-b) \end{eqnarray*}$ Linearfaktoren und $\begin{eqnarray*} (x^2+cx+d) \end{eqnarray*}$ ein übrigbleibender quadratischer Rest, schreibst du die Partialbruchzerlegung folgendermaßen hin:

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha_1}{(x-a)}+\frac{\alpha_2}{(x-a)^2}+\cdots +\frac{\alpha_m}{(x-a)^m}+\\+\frac{\beta_1}{(x-b)}+\frac{\beta_2}{(x-b)^2}+\cdots+\frac{\beta_n}{(x-b)^n}+\\ +\frac{\gamma_1x+\delta_1}{x^2+cx+d}+\frac{\gamma_2x+\delta_2}{(x^2+cx+d)^2}+\cdots + \frac{\gamma_lx+\delta_l}{(x^2+cx+d)^l} \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt zwar viel Formelsatz, ich hoffe aber dass dir das jetzt ein bißchen klarer ist.

06.07.2009, 06:40

Eva-S

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Ich werde versuchen Deine Ausführen mal nachzuvollziehen.

Spontan verstehe ich die gerade noch nicht so ganz!

07.07.2009, 13:12

Eva-S

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RE: Partialbruchzerlegung / Hilfe gesucht
Also ich habe doch noch Verständisprobleme bei der Partialbruchzerlegung.

Ich versuche mich derzeit an einer Aufgabe mit der auch ein Kommilitone von mir gerade beschäftigt ist.

Sie lautet

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~{\frac{x^3 -2x -1 }{(x-1)^3}}~dx \end{eqnarray*}$

Nach Polynomdivision durch $\begin{eqnarray*} {(x-1)}^3 \end{eqnarray*}$ habe ich

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~{1}~dx + \int_{}^{}~{\frac{3x^2-5x}{(x-1)^3}}~dx \end{eqnarray*}$

heraus und danach mit der Partialbruchzerlegung angefangen.

Nun bin ich hier:
$\begin{eqnarray*} 3x^2 -5x = A \cdot x^2 +(-2A+B) \cdot x + (A-B+C) \cdot C \end{eqnarray*}$

Nun habe ich per Koeffizientenvergleich folgende Werte ermittelt:

$\begin{eqnarray*} A=3; B= 1; C= -2 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?
Was muss ich als nächstes tun?

07.07.2009, 13:15

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung / Hilfe gesucht

Zitat:

Original von Eva-S
und danach mit der Partialbruchzerlegung angefangen.

Welchen Ansatz hast du dafür gewählt?

07.07.2009, 13:19

AD

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Na was schon - integrieren!

$\begin{eqnarray*} \int ~ 1 + \frac{3}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} - \frac{2}{(x-1)^3} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Sämtliche Summanden sind bis auf Vorfaktoren sowie die leichte Verschiebung (um 1) nur Grundintegrale.

07.07.2009, 13:29

Eva-S

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Dann habe ich es glaube ich bis hierher schonmal verstanden.

Ich habe ja eine dreifache Nullstelle bei x=1 und muss daher die folgende Formel benutzen:

$\begin{eqnarray*} \frac {A}{x-1} + \frac {B}{(x-1)^2} + \frac {c}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

Richtig?

07.07.2009, 13:30

Eva-S

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RE: Partialbruchzerlegung / Hilfe gesucht

Zitat:

Original von klarsoweit
Welchen Ansatz hast du dafür gewählt?

Wie meinst Du das genau? Verstehe Deine Frage jetzt gerade nicht!?

07.07.2009, 13:34

Eva-S

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Folgenden Ansatz habe ich benutzt (falls Du das meinst!?):

* Für jede einfache reelle Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ enthält er einen Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{a_{i1}}{x-x_i} \end{eqnarray*}$

* Für jede $\begin{eqnarray*} r_i \end{eqnarray*}$ -fache reelle Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ enthält er $\begin{eqnarray*} r_i \end{eqnarray*}$ Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{a_{i1}}{x-x_i}+\frac{a_{i2}}{(x-x_i)^2}+\dots+\frac{a_{ir_i}}{(x-x_i)^{r_i}} \end{eqnarray*}$

aus
http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung

07.07.2009, 13:41

klarsoweit

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Und wie sieht das ganz konkret bei dir aus? Ich frage deshalb, weil das:

Zitat:

Original von Eva-S
Nun bin ich hier:
$\begin{eqnarray*} 3x^2 -5x = A \cdot x^2 +(-2A+B) \cdot x + (A-B+C) \cdot C \end{eqnarray*}$

ist mit Sicherheit falsch.

07.07.2009, 14:19

AD

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@Eva-S

Es sind diese ärgerlichen Unkonzentriertheiten in fast jeder Formel:

Zitat:

Original von Eva-S
$\begin{eqnarray*} \frac {A}{x-1} + \frac {B}{(x-1)^2} + \frac {c}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

Hier muss als letzter Summand $\begin{eqnarray*} \frac {C}{(x-1)^3} \end{eqnarray*}$ stehen.

Oder hier eben:

Zitat:

Original von Eva-S
$\begin{eqnarray*} 3x^2 -5x = A \cdot x^2 +(-2A+B) \cdot x + (A-B+C) \cdot C \end{eqnarray*}$

wo doch als letzter Summand nicht $\begin{eqnarray*} (A-B+C) \cdot C \end{eqnarray*}$ , sondern nur $\begin{eqnarray*} (A-B+C) \end{eqnarray*}$ stehen muss.

Konzentrier dich ein bisschen mehr - in dieser Häufung erschweren derartige Fehler das Lesen deiner Beiträge. unglücklich

unglücklich

07.07.2009, 15:02

Eva-S

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Ohje, ja... da war ich wohl etwas zu unkonzentiert...!

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